Nos casos abaixo, veirifique se
é um homomorfismo:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
onde
é o grupo dos números reais com a operação de adição, e
é o grupo dos pares de números reais também com adição. A função está definida por
. Nosso objetivo é verificar se
é um homomorfismo de grupos. Para isso, vamos usar o conceito de homomorfismo de grupos e verificar se a função preserva a estrutura do grupo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um homomorfismo de grupos. Um homomorfismo entre dois grupos é uma função que respeita a operação dos grupos. No nosso caso, isso significa que para quaisquer dois elementos
e
em
, a função
deve satisfazer:
Isso garante que a estrutura de grupo é mantida pela função.
Passo 3
Vamos aplicar a definição de homomorfismo na nossa função
. Precisamos calcular
e comparar com
.
Passo 4
Calculando
:
Agora, calculando
:
Passo 5
Comparando os resultados:
Os dois lados são iguais, ou seja,
.
Resposta
Sim, a função
é um homomorfismo de grupos.