Nos casos abaixo, veirifique se f: G J é um homomorfismo:
G=lang<=R,+rang<=, J==lang<=R times R,+rang<=, f(x)=(2 x, 3 x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função f: G J onde G é o grupo dos números reais com a operação de adição, e J é o grupo dos pares de números reais também com adição. A função está definida por f(x) = (2x, 3x) . Nosso objetivo é verificar se f é um homomorfismo de grupos. Para isso, vamos usar o conceito de homomorfismo de grupos e verificar se a função preserva a estrutura do grupo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um homomorfismo de grupos. Um homomorfismo entre dois grupos é uma função que respeita a operação dos grupos. No nosso caso, isso significa que para quaisquer dois elementos a e b em G , a função f deve satisfazer:
f(a + b) = f(a) + f(b)
Isso garante que a estrutura de grupo é mantida pela função.

Passo 3

Vamos aplicar a definição de homomorfismo na nossa função f . Precisamos calcular f(a + b) e comparar com f(a) + f(b) .

Passo 4

Calculando f(a + b) :
f(a + b) = (2(a + b), 3(a + b)) = (2a + 2b, 3a + 3b)
Agora, calculando f(a) + f(b) :
f(a) = (2a, 3a) e f(b) = (2b, 3b)
f(a) + f(b) = (2a + 2b, 3a + 3b)

Passo 5

Comparando os resultados:
f(a + b) = (2a + 2b, 3a + 3b)
f(a) + f(b) = (2a + 2b, 3a + 3b)
Os dois lados são iguais, ou seja, f(a + b) = f(a) + f(b) .

Resposta

Sim, a função f é um homomorfismo de grupos.

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