Use o mûˋtodo de substituiûÏûÈo para determinar as seguintes integrais
integral sec (t) tan (t)1+sec ^2(t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral sec(t),tan(t)1+sec^2(t),dt
usando o método de substituição. Vamos aproveitar que a derivada de sec(t) é sec(t)tan(t), o que sugere uma substituição direta.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = sec(t)
Dessa forma, derivando ambos os lados em relação a t, obtemos
du = sec(t),tan(t),dt

Passo 3

Substituindo na integral original, o numerador sec(t)tan(t),dt vira du e o denominador 1+sec^2(t) vira 1+u^2. Assim,
integral sec(t),tan(t)1+sec^2(t),dt = integral du1+u^2

Passo 4

Reconhecemos que
integral du1+u^2 = arctan(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original t, temos u = sec(t). Portanto,
arctan(u) + C = arctanl(sec(t)r) + C

Resposta

arctanl(sec(t)r) + C

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