Nos casos abaixo, veirifique se
é um homomorfismo:
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(e)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para verificar, em cada um dos itens (a)–(e), se uma aplicação
entre grupos aditivos é um homomorfismo. Em grupos aditivos, a definição é que
deve satisfazer
para todo
em
, e nesse caso
segue automaticamente.
Passo 2
(a) Temos e
. Verificamos
Logo
preserva a soma e
. Portanto é homomorfismo.
Passo 3
(b) Aqui
. Então
enquanto
Como
em geral, não é homomorfismo.
Passo 4
(c) Agora
. Calculamos
mas
O termo
impede a igualdade, então não é homomorfismo.
Passo 5
(d) Em temos
. Então
Em geral
(por exemplo
), logo não é homomorfismo.
Passo 6
(e) Em e a função é
. Verificamos
e
. Portanto é homomorfismo.
Resposta
Os itens que definem homomorfismo são (a) e (e).