Nos casos abaixo, veirifique se f: G J é um homomorfismo:
(a) G=lang<=Z,+rang<=, J=lang<=Z,+rang<=, f(x)=7 x.
(b) G=lang<=Z,+rang<=, J=lang<=Z,+rang<=, f(x)=7 x+1.
(c) G=lang<=Z,+rang<=, J=lang<=Z,+rang<=, f(x)=7 x^2.
(d) G=lang<=R,+rang<=, J=lang<=R,+rang<=, f(x)=|x|.
(e) G=lang<=R,+rang<=, J=lang<=R times R,+rang<=, f(x)=(2 x, 3 x).

Passo 1

O enunciado pede para verificar, em cada um dos itens (a)–(e), se uma aplicação f entre grupos aditivos é um homomorfismo. Em grupos aditivos, a definição é que f deve satisfazer
f(x+y)=f(x)+f(y)
para todo x,y em G, e nesse caso f(0G)=0J segue automaticamente.

Passo 2

(a) Temos e . Verificamos
Logo preserva a soma e . Portanto é homomorfismo.

Passo 3

(b) Aqui f(x)=7x+1. Então
f(x+y)=7(x+y)+1=7x+7y+1,
enquanto
f(x)+f(y)=(7x+1)+(7y+1)=7x+7y+2
Como 7x+7y+1neq7x+7y+2 em geral, não é homomorfismo.

Passo 4

(c) Agora f(x)=7x^2. Calculamos
f(x+y)=7(x+y)^2=7x^2+14xy+7y^2,
mas
f(x)+f(y)=7x^2+7y^2
O termo 14xy impede a igualdade, então não é homomorfismo.

Passo 5

(d) Em temos . Então
Em geral (por exemplo ), logo não é homomorfismo.

Passo 6

(e) Em e a função é . Verificamos
e . Portanto é homomorfismo.

Resposta

Os itens que definem homomorfismo são (a) e (e).

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