Sejam G um grupo e H um subgrupo de G tal que a H=H a, forall a in G. Se a H=a1 H e b H=b+1 H com a, a1, b, b1 in G, então prove que (a1 b1) H subset(a b) H.

Passo 1

O enunciado diz que temos um grupo G e um subgrupo H que é normal em G (pois aH=Ha para todo ain G). Sabemos também que aH=a1H e bH=b1H. O objetivo é mostrar que
(a1b1)H ;subset; (ab)H

Passo 2

De aH=a1H segue que existe algum h1in H tal que
a1 = a,h1

Passo 3

De modo análogo, de bH=b1H existe h2in H com
b1 = b,h2

Passo 4

Multiplicando as duas expressões obtemos
a1b1 ;=;(a,h1)(b,h2) ;=;a,l(h1br),h2

Passo 5

Como H é normal, temos h1b = b,h1' onde
h1' = b^-1h1b ;in; H
Portanto
a1b1 = a,b,h1',h2
Seja h3=h1'h2in H. Então
a1b1 = a,b,h3

Passo 6

Pegue qualquer xin(a1b1)H. Então existe hin H tal que
x = (a1b1),h = a,b,h3,h
Como h3hin H, concluímos que xin ab,H. Logo
(a1b1)H ;subset;(ab)H

Resposta

(a1b1)Hsubset (ab)H.

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