Encontre dois grupos G e H não isomórficos, tais que Aut(G) cong Aut(H).

Passo 1

O enunciado pede dois grupos G e H, não isomórficos entre si, tais que
Aut(G)cong Aut(H)
O conteúdo usado será teoria de automorfismos de grupos: em especial, o cálculo de Aut(C2times C2) via GL(2,2) e de Aut(S3) via automorfismos internos.

Passo 2

Considere H = C2times C2. Como é um espaço vetorial de dimensão 2 sobre F2, temos
Aut(C2times C2);cong;GL(2,2)
O grupo GL(2,2) tem ordem
|GL(2,2)|=(2^2-1)(2^2-2)=3cdot2=6
e é isomorfo a S3. Logo
Aut(H)cong S3

Passo 3

Agora tome G=S3. Como o centro de S3 é trivial, os automorfismos internos exaurem todos:
Inn(S3);cong;S3/Z(S3);=;S3,
e não há automorfismos externos em S3. Portanto
Aut(G)cong S3

Passo 4

Concluímos que
Aut(G)cong S3e Aut(H)cong S3,
então Aut(G)cong Aut(H). Por outro lado, G=S3 e H=C2times C2 não são isomorfos (têm ordens diferentes: 6 e 4).

Resposta

Podemos escolher
G = S3, H = C2times C2,
que são não isomórficos, mas satisfazem
Aut(G)cong S3cong Aut(H)

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