Se [G: H]=2, prove que g H=H g.

Passo 1

O enunciado diz que temos um grupo G e um subgrupo H tal que o índice de H em G é
[G : H] = 2
Isso significa que há exatamente duas classes laterais (cosets) à esquerda de H em G. O objetivo é mostrar que, para todo gin G, a classe lateral à esquerda gH coincide com a classe lateral à direita Hg. Em outras palavras, provar que H é normal em G.

Passo 2

Como [G : H] = 2, o conjunto de todas as classes \emph{à esquerda} de H em G é
,H,;gH
para qualquer g notin H. Logo, para um elemento g in G temos dois casos:
1. Se g in H, então trivialmente
gH = H
2. Se g notin H, como só existem duas classes e uma delas é H, a outra só pode ser o complemento de H em G. Assim
gH ;=; G setminus H

Passo 3

O mesmo raciocínio vale para as classes \emph{à direita} de H. Ou seja, também há só duas classes
,H,;Hg
e, para qualquer g in G,
1. Se g in H, então
Hg = H
2. Se g notin H, então
Hg ;=; G setminus H

Passo 4

Agora basta juntar os dois argumentos: para qualquer gin G temos
  • Se gin H, então gH = H = Hg
  • Se gnotin H, então gH = Gsetminus H = Hg
Em ambos os casos gH = Hg. Logo H é normal em G.

Resposta

Para todo gin G vale
gH = Hg,
isto é, H é um subgrupo normal de G.

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