Se
, prove que
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um grupo
e um subgrupo
tal que o índice de
em
é
Isso significa que há exatamente duas classes laterais (cosets) à esquerda de
em
. O objetivo é mostrar que, para todo
, a classe lateral à esquerda
coincide com a classe lateral à direita
. Em outras palavras, provar que
é normal em
.
Passo 2
Como
, o conjunto de todas as classes \emph{à esquerda} de
em
é
para qualquer
. Logo, para um elemento
temos dois casos:
. Se
, então trivialmente
Passo 3
O mesmo raciocínio vale para as classes \emph{à direita} de
. Ou seja, também há só duas classes
e, para qualquer
,
. Se
, então
Passo 4
Agora basta juntar os dois argumentos: para qualquer
temos
- Se
, então - Se
, então
Em ambos os casos
. Logo
é normal em
.
Resposta
Para todo
vale
isto é,
é um subgrupo normal de
.