Sejam
um grupo e
um subgrupo de
e
. Mostre que
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado fala que
é um grupo,
é um subgrupo de
e
. Precisamos mostrar que as classe laterais à esquerda (ou seja, os cosets) são iguais:
se, e somente se, o elemento
pertence a
. Para isso vamos usar a definição de coset e as propriedades de subgrupo (fechamento e inverso).
Passo 2
Suponha primeiro que
. Como
, pelo fato de as duas classes serem iguais temos
. Logo existe algum
tal que
Multiplicando à direita por
obtemos
Portanto,
.
Passo 3
Agora suponha que
. Então podemos escrever
isto é,
Como
é subgrupo,
percorre exatamente os mesmos elementos de
após multiplicação por tudo em
. Assim
Mas
também percorre todo o
(fechamento e inverso garantem que
). Logo