Sejam G um grupo e H um subgrupo de G e a, b in G. Mostre que H a=H b se, e somente se, a cdot b^-1 in H.

Passo 1

O enunciado fala que G é um grupo, H é um subgrupo de G e a,bin G. Precisamos mostrar que as classe laterais à esquerda (ou seja, os cosets) são iguais:
H,a = H,b
se, e somente se, o elemento
a,b^-1
pertence a H. Para isso vamos usar a definição de coset e as propriedades de subgrupo (fechamento e inverso).

Passo 2

Suponha primeiro que H,a = H,b. Como ain H,a, pelo fato de as duas classes serem iguais temos ain H,b. Logo existe algum hin H tal que
a = h,b
Multiplicando à direita por b^-1 obtemos
a,b^-1 = hin H
Portanto, a,b^-1in H.

Passo 3

Agora suponha que a,b^-1in H. Então podemos escrever
a,b^-1 = h com hin H,
isto é,
a = h,b
Como H é subgrupo, h,b percorre exatamente os mesmos elementos de b após multiplicação por tudo em H. Assim
H,a = H,(h,b) = ,x,(h,b)mid xin H = (x,h),bmid xin H
Mas x,h também percorre todo o H (fechamento e inverso garantem que x,h:xin H=H). Logo
H,a = H,b

Resposta

H,a = H,b Long<=ftrightarrow a,b^-1in H

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