Em casos de acidentes de trânsito, chama-se o perito criminal para realizar a perícia. No local do acidente o perito coleta as informações para compreender as causas. Acidentes envolvendo veículos automotores geralmente deixam marcas de frenagem na pista, cujo cálculo tem como modelo matemático a expressão d=v+0,05 v^{2}, que fornece aproximadamente a distância de frenagem \boldsymbol{d} (em metros), de um veículo automotor com velocidade v \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Em determinada via de Teresina, houve um acidente em que um dos veículos formou uma frenagem de 125,05 metros. Desse modo, o perito pode determinar que a velocidade do veículo era de aproximadamente
a) 85 \mathrm{~km} / \mathrm{h}.
b) 75 \mathrm{~km} / \mathrm{h}.
c) 61 \mathrm{~km} / \mathrm{h}.
d) 45 \mathrm{~km} / \mathrm{h}.
e) 41 \mathrm{~km} / \mathrm{h}.

Passo 1

O enunciado dá uma fórmula aproximada para a distância de frenagem e nos dá um valor medido. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
  • Fórmula fornecida (peguei do enunciado): d = v + 0,05\,v^{2},
onde \,d é a distância de frenagem em metros e \,v é a velocidade em \mathrm{km}/\mathrm{h}.
  • Informação do acidente (peguei do enunciado): a marca de frenagem medida foi \,d = 125,05 metros.
  • O que o enunciado pede: determinar aproximadamente a velocidade do veículo \,v que gerou essa distância e escolher a alternativa correta entre:
    a) 85\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
    b) 75\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
    c) 61\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
    d) 45\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
    e) 41\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
A partir daqui vamos montar a equação substituindo d pelo valor medido e resolver para v.

Passo 2

Substituindo \,d=125,05 na fórmula, obtemos a equação em v:
125,05 = v + 0,05\,v^{2}.
Passo a colocar na forma padrão de uma equação quadrática (todos os termos no mesmo lado):
0,05\,v^{2} + v - 125,05 = 0.
Explicando rápido: uma equação quadrática tem a forma \,a v^{2} + b v + c = 0, onde a, b e c são números. Aqui:
a = 0,05,\qquad b = 1,\qquad c = -125,05.

Passo 3

Para resolver uma quadrática podemos usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Ela diz que as soluções são
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}.
Dentro da raiz está o discriminante \Delta = b^{2} - 4ac. Se \Delta for negativo não haveria raízes reais; se \Delta\ge 0 há raízes reais. Vamos calcular \Delta com nossos coeficientes:
\Delta = 1^{2} - 4\cdot 0,05 \cdot (-125,05).
Calcule passo a passo:
4\cdot 0,05 = 0,20,
0,20 \cdot 125,05 = 25,01,
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\Delta = 1 + 25,01 = 26,01.
Agora a raiz quadrada:
\sqrt{\Delta} = \sqrt{26,01}.
Observação útil: 5,1^{2} = 26,01. Portanto \sqrt{26,01} = 5,1 exatamente.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula:
v = \frac{-1 \pm 5,1}{2\cdot 0,05} = \frac{-1 \pm 5,1}{0,10}.
Calculamos as duas possibilidades:
  • Com o sinal +:
v = \frac{-1 + 5,1}{0,10} = \frac{4,1}{0,10} = 41.
  • Com o sinal -:
v = \frac{-1 - 5,1}{0,10} = \frac{-6,1}{0,10} = -61.
Interpretação física: velocidade negativa não faz sentido neste contexto, então descartamos -61. A solução fisicamente admissível é \,v = 41 (unidade \mathrm{km}/\mathrm{h}).

Passo 5

Verificação rápida por substituição (sempre bom checar na prova): para v=41,
v + 0,05\,v^{2} = 41 + 0,05\cdot 41^{2}.
Como 41^{2}=1681, temos
0,05\cdot 1681 = \frac{5}{100}\cdot 1681 = \frac{8405}{100} = 84,05.
Portanto
41 + 84,05 = 125,05,
que é exatamente a distância dada. Confere certinho.

Resposta

e) 41\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}

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