Encontre as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y sabendo que z=f(u, v) com u=u(x, y) e v=v(x, y)
f(u, v)=raizu^2+v^2, u(x, y)=3 x y e v(x, y)=3 x-2 y

Passo 1

O enunciado define
z = f(u,v) com
f(u,v)=raizu^2+v^2,
u(x,y)=3xy e v(x,y)=3x-2y.
Queremos as derivadas parciais partial z/partial x e partial z/partial y.
O conteúdo principal é a regra da cadeia em cálculo de várias variáveis.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f em relação a u e v.
Como f(u,v)= (u^2+v^2)^1/2, temos
fu = partial fpartial u = 12(u^2+v^2)^-1/2cdot 2u = uraizu^2+v^2
fv = partial fpartial v = 12(u^2+v^2)^-1/2cdot 2v = vraizu^2+v^2

Passo 3

Calcular as derivadas de u e v em relação a x.
partial upartial x = partial (3xy)partial x = 3y, partial vpartial x = partial (3x-2y)partial x = 3

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia para partial zpartial x:
partial zpartial x = fu,partial upartial x + fv,partial vpartial x = uraizu^2+v^2cdot 3y + vraizu^2+v^2cdot 3 = 3y,u + 3,vraizu^2+v^2

Passo 5

Calcular as derivadas de u e v em relação a y.
partial upartial y = partial (3xy)partial y = 3x, partial vpartial y = partial (3x-2y)partial y = -2

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia para partial zpartial y:
partial zpartial y = fu,partial upartial y + fv,partial vpartial y = uraizu^2+v^2cdot 3x + vraizu^2+v^2cdot (-2) = 3x,u - 2,vraizu^2+v^2

Passo 7

Substituir u=3xy e v=3x-2y para expressar em função de x e y:
partial zpartial x = 3y,(3xy) + 3,(3x-2y)% raiz(3xy)^2 + (3x-2y)^2 = 9x y^2 + 9x - 6yraiz9x^2y^2 + (3x-2y)^2
partial zpartial y = 3x,(3xy) - 2,(3x-2y)% raiz(3xy)^2 + (3x-2y)^2 = 9x^2y - 6x + 4yraiz9x^2y^2 + (3x-2y)^2

Resposta

partial zpartial x = 9x y^2 + 9x - 6yraiz9x^2y^2 + (3x-2y)^2, partial zpartial y = 9x^2y - 6x + 4yraiz9x^2y^2 + (3x-2y)^2

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