Encontre as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y sabendo que z=f(u, v) com u=u(x, y) e v=v(x, y)
f(u, v)=ln (u+v), u(x, y)=x^2+y^4 e v(x, y)=e^x+y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais partial z/partial x e partial z/partial y da função composta
z = fl(u(x,y),,v(x,y)r)
com
f(u,v)=ln(u+v), u(x,y)=x^2+y^4e, v(x,y)=e^x+y
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
partial zpartial x = partial fpartial u,partial upartial x + partial fpartial v,partial vpartial x, partial zpartial y = partial fpartial u,partial upartial y + partial fpartial v,partial vpartial y

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f em relação a u e a v. Como f(u,v)=ln(u+v),
partial fpartial u = 1u+v, partial fpartial v = 1u+v

Passo 3

Agora obtemos as derivadas parciais de u e v em relação a x e y:
partial upartial x = 2x, partial upartial y = 4y^3 e, partial vpartial x = e^x+y, partial vpartial y = e^x+y

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
partial zpartial x = 1u+v,(2x) ;+;1u+v,(e^x+y) = 2x + e^x+yu+v,
partial zpartial y = 1u+v,(4y^3 e) ;+;1u+v,(e^x+y) = 4y^3 e + e^x+yu+v
Lembrando que u+v = x^2 + y^4 e + e^x+y.

Resposta

partial zpartial x = 2x + e^x+yx^2 + y^4 e + e^x+y, partial zpartial y = 4y^3 e + e^x+yx^2 + y^4 e + e^x+y

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