Nos casos escreva os 5 primeiros termos das séries geométricas, diga se a mesma diverge ou converge, e no caso convergente determine sua soma
sumn=0^infty pi^n3^n+1

Passo 1

E aí! Vamos resolver essa série geométrica: sumn=0^infty pi^n3^n+1 . A gente vai precisar entender o que é uma série geométrica, identificar seus termos, verificar se ela converge ou diverge, e se convergir, calcular a soma dela. Basicamente, vamos usar a fórmula da série geométrica e os critérios de convergência para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os 5 primeiros termos dessa série. A série é dada por:
sumn=0^infty pi^n3^n+1
Calculando para n = 0 até n = 4 :
  1. Para n = 0 :
pi^03^0+1 = 13
  1. Para n = 1 :
pi^13^1+1 = pi9
  1. Para n = 2 :
pi^23^2+1 = pi^227
  1. Para n = 3 :
pi^33^3+1 = pi^381
  1. Para n = 4 :
pi^43^4+1 = pi^4243
Então, os 5 primeiros termos são:
13, pi9, pi^227, pi^381, pi^4243

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa série converge ou diverge. Para uma série geométrica da forma sumn=0^infty ar^n , ela converge se o valor absoluto da razão |r| < 1 e diverge caso contrário.
Vamos reescrever a nossa série para identificar a e r :
sumn=0^infty pi^n3^n+1 = 13 sumn=0^infty ( pi3 )^n
Aqui, a = 13 e r = pi3 .
Agora, verificamos |r| :
| pi3 | approx 3.14163 approx 1.0472
Como 1.0472 > 1 , o valor absoluto da razão é maior que 1, o que significa que a série diverge.

Resposta

A série geométrica sumn=0^infty pi^n3^n+1 diverge.

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