Resolva o limite:
lim x infty x^pi+3 x^e+2x^3+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x infty x^pi+3 x^e+2x^3+1. Aqui, estamos trabalhando com limites no infinito, um tópico de Cálculo que estuda o comportamento das funções quando x cresce sem parar. Para resolver isso, vamos precisar comparar o crescimento das potências de x no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as maiores potências de x no numerador e no denominador. No numerador, temos x^pi, 3x^e e 2. As potências são pi approx 3.14 e e approx 2.72. No denominador, temos x^3 e 1. A maior potência no numerador é x^pi e no denominador é x^3.

Passo 3

Agora, vamos entender qual dessas potências cresce mais rápido conforme x tende ao infinito. Sabemos que pi approx 3.14 é maior que 3, ou seja, x^pi cresce mais rápido que x^3. Isso significa que, no limite, o termo x^pi vai dominar todo o resto no numerador, e x^3 vai ser o principal no denominador.

Passo 4

Para simplificar, vamos focar apenas nas maiores potências de x no numerador e no denominador. Assim, podemos aproximar a expressão do limite por:
lim x infty x^pix^3 = lim x infty x^pi - 3
Aqui, subtraímos os expoentes porque x^ax^b = x^a - b.

Passo 5

Agora, vamos calcular pi - 3:
pi - 3 approx 3.14 - 3 = 0.14
Como o expoente 0.14 é positivo, sabemos que x^0.14 tende ao infinito quando x tende ao infinito.

Passo 6

Portanto, o limite da nossa expressão original é:
lim x infty x^pi+3 x^e+2x^3+1 = infty

Resposta

O limite é infinito.

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