Nos casos escreva os 5 primeiros termos das séries geométricas, diga se a mesma diverge ou converge, e no caso convergente determine sua soma

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente trabalhar com séries geométricas. Precisamos escrever os 5 primeiros termos da série , descobrir se essa série converge ou diverge, e se ela converge, calcular a sua soma. Para isso, vamos lembrar de como identificar uma série geométrica e usar as fórmulas que a gente conhece para analisá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão geral da série: . A gente pode simplificar isso para facilitar. Observe que .

Passo 3

Vamos reescrever a expressão para identificar a razão da série geométrica:
Agora, a gente vê que está no formato de uma série geométrica, que é , onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 4

Identificando os termos:
  • Primeiro termo ( ): quando , temos .
  • Razão ( ): é .
Agora, para saber se a série converge ou diverge, a gente precisa verificar o valor absoluto da razão . Se , a série converge; se , ela diverge.
Calculando:
Como , a série converge.

Passo 5

Como a série converge, podemos calcular a soma infinita usando a fórmula da soma de uma série geométrica:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

Os 5 primeiros termos da série são:
A série converge e a sua soma é:

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