Nos casos escreva os 5 primeiros termos das séries geométricas, diga se a mesma diverge ou converge, e no caso convergente determine sua soma
sumn=1^infty e^n3^n-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente trabalhar com séries geométricas. Precisamos escrever os 5 primeiros termos da série sumn=1^infty e^n3^n-1, descobrir se essa série converge ou diverge, e se ela converge, calcular a sua soma. Para isso, vamos lembrar de como identificar uma série geométrica e usar as fórmulas que a gente conhece para analisá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão geral da série: e^n3^n-1. A gente pode simplificar isso para facilitar. Observe que e^n3^n-1 = e^n cdot 3^-(n-1) = e^n cdot 13^n-1.

Passo 3

Vamos reescrever a expressão para identificar a razão da série geométrica:
e^n3^n-1 = e cdot (e3)^n-1
Agora, a gente vê que está no formato de uma série geométrica, que é a cdot r^n-1, onde a é o primeiro termo e r é a razão.

Passo 4

Identificando os termos:
  • Primeiro termo ( a): quando n=1, temos e cdot (e3)^0 = e cdot 1 = e.
  • Razão ( r): é e3.
Agora, para saber se a série converge ou diverge, a gente precisa verificar o valor absoluto da razão |r|. Se |r| < 1, a série converge; se |r| >= 1, ela diverge.
Calculando:
|e3| approx 2.7183 approx 0.906 < 1
Como |r| < 1, a série converge.

Passo 5

Como a série converge, podemos calcular a soma infinita usando a fórmula da soma de uma série geométrica:
S = a1 - r
Substituindo os valores que encontramos:
S = e1 - e3 = e3 - e3 = 3e3 - e

Resposta

Os 5 primeiros termos da série são:
e, e cdot e3, e cdot (e3)^2, e cdot (e3)^3, e cdot (e3)^4
A série converge e a sua soma é:
S = 3e3 - e

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