Nos casos escreva os 5 primeiros termos das séries geométricas, diga se a mesma diverge ou converge, e no caso convergente determine sua soma
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente trabalhar com séries geométricas. Precisamos escrever os 5 primeiros termos da série , descobrir se essa série converge ou diverge, e se ela converge, calcular a sua soma. Para isso, vamos lembrar de como identificar uma série geométrica e usar as fórmulas que a gente conhece para analisá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a expressão geral da série: . A gente pode simplificar isso para facilitar. Observe que .
Passo 3
Vamos reescrever a expressão para identificar a razão da série geométrica:
Agora, a gente vê que está no formato de uma série geométrica, que é , onde é o primeiro termo e é a razão.
Passo 4
Identificando os termos:
Primeiro termo (): quando , temos .
Razão (): é .
Agora, para saber se a série converge ou diverge, a gente precisa verificar o valor absoluto da razão . Se , a série converge; se , ela diverge.
Calculando:
Como , a série converge.
Passo 5
Como a série converge, podemos calcular a soma infinita usando a fórmula da soma de uma série geométrica: