Nos casos que a interseção do plano π com o elipsóide Ω for uma elipse, determine seu centro focos,vértices e excentricidade. Se for uma circunferência, determine centro e raio.
Identifique a interseção da quádrica Ω com o plano π, determine seus elementos (centro,vértices,focas, assíntotas, excentricidade, eixos) e faça um esboço.
Ω: x^{2} / 64+y^{2} / 100+z=1 e π: z-5=0.

Passo 1

O enunciado pede a interseção da quádrica
\Omega:\;\frac{x^{2}}{64}+\frac{y^{2}}{100}+z=1
com o plano
\pi:\;z-5=0\,,
e, caso essa interseção exista, identificar se é elipse ou circunferência e determinar seus elementos (centro, vértices, focos, excentricidade ou raio).

Passo 2

Escrevemos \Omega como superfície de revolução em z. Da equação
\frac{x^{2}}{64}+\frac{y^{2}}{100}+z=1
isolamos
z=1-\frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{100}.
Trata-se de um paraboloide elíptico, cujas seções por planos z= constante são elipses (quando o lado direito for positivo).

Passo 3

Para intersectar com o plano \pi, impomos z=5. Substituindo em \Omega:
5 \;=\; 1-\frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{100} \quad\Longrightarrow\quad -\frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{100}=4.

Passo 4

Multiplicando por -1 obtemos
\frac{x^{2}}{64}+\frac{y^{2}}{100}=-4,
que não admite solução real, pois soma de quadrados com coeficientes positivos não pode ser negativa.

Resposta

A interseção é o conjunto vazio (não há pontos reais).

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