Para quaisquer inteiros a, b e c, prove que:
(-1) \cdot a=-a

Passo 1

O enunciado pede para provar que, em \mathbb{Z}, o produto de -1 por qualquer inteiro a coincide com o oposto aditivo de a. Vamos usar os axiomas de corpo (na verdade, de anel comutativo) em \mathbb{Z}: existência de identidade multiplicativa 1, existência de inverso aditivo -a e distributividade.

Passo 2

Por definição, o oposto aditivo de a, denotado por -a, é o único elemento em \mathbb{Z} tal que
a + (-a) = 0.

Passo 3

Usamos a propriedade distributiva e o fato de 0 ser o elemento neutro aditivo:
0 = 0 \cdot a.
Como 0 = 1 + (-1), temos
0\cdot a = \bigl(1 + (-1)\bigr)\cdot a = 1\cdot a + (-1)\cdot a = a + (-1)\cdot a.

Passo 4

Logo obtivemos
a + (-1)\cdot a = 0.
Isso mostra que (-1)\cdot a é um elemento cujo somatório com a 0, ou seja, é o oposto aditivo de a.

Passo 5

Pela unicidade do inverso aditivo em \mathbb{Z}, concluímos
(-1)\cdot a = -a.

Resposta

(-1)\cdot a = -a.

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