Para quaisquer inteiros
e
, prove que:
Passo 1
O enunciado pede para provar que, em
, o produto de
por qualquer inteiro
coincide com o oposto aditivo de
. Vamos usar os axiomas de corpo (na verdade, de anel comutativo) em
: existência de identidade multiplicativa
, existência de inverso aditivo
e distributividade.
Passo 2
Por definição, o oposto aditivo de
, denotado por
, é o único elemento em
tal que
Passo 3
Usamos a propriedade distributiva e o fato de
ser o elemento neutro aditivo:
Como
, temos
Passo 4
Logo obtivemos
Isso mostra que
é um elemento cujo somatório com
dá
, ou seja, é o oposto aditivo de
.
Passo 5
Pela unicidade do inverso aditivo em
, concluímos