Considere o seguinte sistema linear:
\left\{\begin{array}{c} x+6 y-8 z=1 \\\\ 2 x+6 y-4 z=0 \end{array}\right.
a) Mostre que v_{1}=(-5,7 / 3,1) é uma solução do sistema acima.
b) Se v=(a, b, c) é solução do sistema então mostre que \left(v-v_{1}\right) é solução do sistema homogêneo associado.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x + 6y - 8z = 1,\\\\ 2x + 6y - 4z = 0, \end{cases}
pede em (a) verificar que v_{1}=(-5,\tfrac{7}{3},1) é solução e em (b) mostrar que, se v=(a,b,c) satisfaz o sistema original, então v-v_{1} satisfaz o sistema homogêneo associado
\begin{cases} x + 6y - 8z = 0,\\\\ 2x + 6y - 4z = 0. \end{cases}

Passo 2

Substituímos v_{1} na primeira equação x+6y-8z=1. Com x=-5, y=\tfrac{7}{3}, z=1 vem
(-5) + 6\cdot\bigl(\tfrac{7}{3}\bigr) - 8\cdot1 = -5 + 14 - 8 = 1,
logo a primeira equação é satisfeita.

Passo 3

Substituímos v_{1} na segunda equação 2x+6y-4z=0. Obtemos
2\cdot(-5) + 6\cdot\bigl(\tfrac{7}{3}\bigr) - 4\cdot1 = -10 + 14 - 4 = 0,
logo a segunda equação também é satisfeita e v_{1} é solução.

Passo 4

Chamamos de L a aplicação linear que a cada (x,y,z) associa o par
\begin{pmatrix} x+6y-8z\\\\ 2x+6y-4z \end{pmatrix}.
O sistema homogêneo é L(x,y,z)=(0,0). A propriedade fundamental é
L(v - v_{1}) = L(v) - L(v_{1}).

Passo 5

Se v=(a,b,c) é solução do sistema original, então
L(v)=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad L(v_{1})=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}.
Logo
L(v - v_{1}) = L(v) - L(v_{1}) = \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix},
o que mostra que v-v_{1} satisfaz o sistema homogêneo.

Resposta

(a) Verificamos por substituição que (-5,\tfrac{7}{3},1) satisfaz ambas as equações do sistema, logo é solução.
(b) Usando a linearidade de L, temos L(v-v_{1})=L(v)-L(v_{1})=(1,0)-(1,0)=(0,0), portanto v-v_{1} é solução do sistema homogêneo.

Exercícios relacionados