Prove que:
Se 0<x<y, então x^{2}<y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sendo dadas duas variáveis reais positivas com 0 < x < y, ao elevarmos ao quadrado obtemos x^{2} < y^{2}. O conteúdo usado será a propriedade de ordem dos reais que diz: se a < b e c > 0, então ac < bc.

Passo 2

Como 0 < x < y e em particular x>0, podemos multiplicar a desigualdade x<y por x (que é positivo) para obter
x\cdot x < x\cdot y,
isto é,
x^{2} < x\,y.

Passo 3

Ainda partindo de x<y, mas agora multiplicando pelo positivo y, temos
x\cdot y < y\cdot y,
ou seja,
x\,y < y^{2}.

Passo 4

Aplicando a transitividade da ordem em
x^{2} < x\,y \quad\text{e}\quad x\,y < y^{2},
concluímos
x^{2} < y^{2}.

Resposta

\displaystyle x^{2} < y^{2}

Exercícios relacionados