Para um dos casos a seguir, determine a razão entre as fugacidades no estado final e no estado inicial para o vapor d’água passando por uma mudança de estado isotérmica:
De 1000\left(\right. psia) e 800\left({ }^{\circ} \mathrm{F}\right) para uma pressão de 50( psia).

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos.
  • Pedido: determinar a razão entre as fugacidades no estado final e no estado inicial, isto é calcular \dfrac{f_2}{f_1}.
  • Dados fornecidos: estado inicial com pressão \,P_1=1000 psia e temperatura \,T=800^\circ\mathrm{F} (a temperatura é a mesma no estado final porque o processo é isotérmico).
  • Estado final: pressão \,P_2=50 psia e mesma temperatura \,T=800^\circ\mathrm{F}.
  • Observação de leitura: o enunciado dá explicitamente as pressões e a temperatura; não há mais informações (por exemplo, nenhuma equação de estado fornecida).

Passo 2

O que é fugacidade e como ela se relaciona com pressão.
  • Fugacidade f é uma “pressão efetiva” que representa o comportamento termodinâmico real de uma substância pura; para um gás real usamos a relação
f=\varphi\,P,
onde \varphi é o coeficiente de fugacidade (ou coeficiente de fugacidade reduzido).
  • Interpretação do \varphi: \varphi corrige a pressão real para levar em conta não idealidades (interações entre moléculas, tamanho finito das moléculas etc.). Se o gás fosse ideal, \varphi=1 e f=P.
  • Variáveis: f tem unidades de pressão (psia aqui), P é a pressão (psia) e \varphi é adimensional.

Passo 3

Expressão útil para a razão pedida.
  • Usando f=\varphi P, a razão entre fugacidades final e inicial é
\frac{f_2}{f_1}=\frac{\phi_2\,P_2}{\phi_1\,P_1}.
  • Uma forma prática de trabalhar com \varphi é pela relação em termos do fator de compressibilidade Z:
\ln\left(\frac{\varphi(P)}{\varphi(0)}\right)=\int_{0}^{P}\frac{Z-1}{P}\,dP.
Como \varphi(0)\to 1 para gás ideal a pressões muito baixas, pode-se escrever para dois estados na mesma isoterm a forma útil
\ln\left(\frac{\phi_2}{\phi_1}\right)=\int_{P_1}^{P_2}\frac{Z-1}{P}\,dP,
onde Z depende de P e T. Aqui Z é o fator de compressibilidade definido por
Z=\frac{P v}{R T},
com v o volume molar, R a constante dos gases e T a temperatura absoluta.

Passo 4

Como proceder na prática em uma prova quando não fornecem uma equação de estado detalhada.
  • Para obter \phi_1 e \phi_2 com precisão precisa-se de dados sobre Z(P,T) (obtidos por uma equação de estado, por tabelas de vapor/STEAM ou por software).
  • Se nada disso é fornecido (como aqui), a aproximação usual, simples e frequentemente aceita em exercícios de prova, é assumir que o vapor, especialmente a pressões moderadas e a temperaturas altas, se aproxima do comportamento ideal. Então toma-se \phi_1\approx 1 e \phi_2\approx 1. Vou justificar brevemente: a temperatura é alta ( 800^\circ\mathrm{F}), o estado a baixa pressão ( 50 psia) terá praticamente Z\approx1; no estado a 1000 psia pode haver desvio, mas a alta temperatura tende a reduzir as interações relativas, e sem dados adicionais a aproximação ideal é a escolha prática em prova. (Se você quiser maior precisão, use uma EOS como Peng–Robinson ou dados IAPWS para obter Z e integrar a expressão do passo anterior.)

Passo 5

Cálculo da razão assumindo comportamento ideal ( \phi_1=\phi_2=1).
  • Com \phi_1=\phi_2=1 a expressão do passo 3 vira simplesmente
\frac{f_2}{f_1}=\frac{P_2}{P_1}.
  • Substituindo os valores dados:
\frac{f_2}{f_1}=\frac{50}{1000}=0{,}05.

Passo 6

Interpretação do resultado e dicas para refinamento (para a prova e para estudar).
  • Resultado: com a aproximação ideal, a fugacidade acompanha a pressão, logo a fugacidade final é 5\% da inicial. Isso é simples de aplicar rapidamente em prova quando não há tabela/EOS.
  • Se for necessário maior rigor: escolha uma equação de estado (por exemplo Peng–Robinson). Para essa EOS existe uma expressão analítica para \ln\varphi em termos de parâmetros da EOS; então calcule Z resolvendo a equação cúbica em Z para cada pressão (a temperatura é fixa), calcule \ln\varphi e então \dfrac{f_2}{f_1}=(\phi_2 P_2)/(\phi_1 P_1). Esse processo dá a correção da aproximação usada aqui.
  • Não se assuste: na prova, se o enunciado não dá EOS nem tabelas, a aproximação ideal é geralmente esperada.

Resposta

\,0{,}05

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