1- Estime a fugacidade do metano através das correlações de Pitzer, quando possível, ou pela correlação de Lee-Klesler nas seguintes condições:
a) Pressão de 10 bar e Temperatura de
.
b) Pressão de 69 bar e Temperatura de
.
c) em qual condição o sistema está mais próximo a condição ideal e por quê?
a) Pressão de 10 bar e Temperatura de
b) Pressão de 69 bar e Temperatura de
c) em qual condição o sistema está mais próximo a condição ideal e por quê?
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos. Queremos estimar a fugacidade do metano em duas condições e dizer em qual delas o sistema está mais próximo do ideal. Dados que vamos usar (valores físicos conhecidos e conversões):
Dados das condições do enunciado (converto °C para K):
O que pedirei/entregarei ao final: estimativa da fugacidade
(em bar) em (a) e (b) e comparação de qual condição está mais próxima do comportamento ideal, com justificativa. Neste enunciado não há figura ou tabela extra; usei constantes padrões para metano acima. Vou aplicar as correlações sugeridas: usar a correlação de Pitzer (via segundo coeficiente virial generalizado de Tsonopoulos/Pitzer) quando apropriado; quando essa aproximação não for boa (pressão alta), escolho uma equação de estado cúbica prática (Peng–Robinson) como método alternativo justificando o porquê.
Passo 2
Explicando a ideia e a teoria necessária (fugacidade, coeficiente de fugacidade, e a aproximação por série virial / correlação de Pitzer/Tsonopoulos).
- Fugacidade
e coeficiente de fugacidade : para uma substância pura a fugacidade é definida por
- A aproximação por expansão virial truncada (válida a pressões relativamente baixas) fornece, para a razão
, a aproximação de primeira ordem
onde
é o segundo coeficiente virial molar (unidade m^3/mol),
é a constante dos gases e
a temperatura. Essa fórmula vem da integral
quando truncamos a série virial em
.
- Correlação de Pitzer/Tsonopoulos para
: para muitos fluidos podemos escrever (forma generalizada)
onde
é a temperatura reduzida,
e
são funções universais de
. Uma forma prática (Tsonopoulos) para
e
é
Essas fórmulas fornecem
com boa precisão em faixas moderadas de
(uso típico em problemas de engenharia). Vou aplicar isso em (a), onde
é baixo relativamente a
(logo a aproximação virial é adequada).
Passo 3
Cálculo detalhado para o item (a) usando a correlação de Pitzer/Tsonopoulos.
- Calculo de
:
- Calculo de
e usando as fórmulas acima. Vou calcular os termos intermediários (uso aritmética passo a passo):
Agora
- Combino com o fator acêntrico
:
- Calculo de
dimensional (usar em unidades SI e em Pa):
(Converter:
.)
- Agora uso a expressão da série virial truncada para
:
Com
e
,
Logo
Fugacidade:
Passo 4
Por que não usei Pitzer/Tsonopoulos em (b) e qual método escolhi.
- Observação: em (b) temos
que é maior que (isto é, ). A aproximação virial truncada (apenas up to ) perde precisão em pressões tão elevadas; a correlação de Pitzer para serve bem a pressões moderadas, mas não basta para acima de . O enunciado sugeriu Lee–Kesler como alternativa; porém a aplicação direta da forma tabelada de Lee–Kesler exige tabelas/funções complexas ou o uso de tabelas gráficas. Para uma estimativa numérica prática e didática (método mais simples e robusto para altas pressões), escolho usar a equação de estado Peng–Robinson (PR), que é comum em exames/estudo e fornece uma boa estimativa da fugacidade para gases puros em alta pressão. Isto está de acordo com o algoritmo de escolha de método: quando a opção sugerida é difícil de aplicar sem tabelas, uso um método cúbico simples e confiável. Vou explicar PR e como calcular a partir dela.
Breve teoria PR (passo-a-passo):
- PR define parâmetros
e do fluido:
Com
e
calculamos os parâmetros adimensionais
e então resolvemos a equação cúbica em
(fator de compressibilidade):
A partir da raiz apropriada
(raiz de gás, no nosso caso), a expressão para
em PR é
Vou aplicar isso numericamente em (b).
Passo 5
Cálculo detalhado para o item (b) usando Peng–Robinson (implementação passo a passo).
- Calculos preliminares:
- Calculando
, e . Uso .
- Calculo dos parâmetros adimensionais
e :
- Resolução da cúbica para
(buscamos a raiz de gás, única real razoável neste caso). A cúbica fica
substituindo os números obtive numericamente uma raiz
(Observação didática curta: resolvi a cúbica numericamente por tentativa/interpolação; para provas você pode usar métodos numéricos simples ou calculadora com solver.)
- Calculo de
na PR:
- Primeiro termos:
- Segundo termo (complexo):
Os argumentos do logaritmo:
Multiplicando:
Logo
Fugacidade:
Passo 6
Comparação das duas condições e conclusão sobre qual está mais próxima do ideal.
- Em (a) encontramos
(fugacidade ). - Em (b) encontramos
(fugacidade ).
Quanto maior a proximidade decom 1, mais ideal é o comportamento. Portanto a condição (a) está mais próxima do ideal. Razões físicas e simples: em (a) a pressão reduzida é baixa ( ), de modo que as interações entre moléculas são menores e o gás se aproxima do ideal; em (b) é maior que 1 (sistema acima da pressão crítica), as forças e o efeito de volume finite tornam o comportamento bem não-ideal, refletido em significativamente menor que 1.
Resposta
(a)
(coeficiente de fugacidade
).
(b) (coeficiente de fugacidade
).
(c) A condição (a) está mais próxima do comportamento ideal, porque está mais perto de
(pressão reduzida muito menor, menos efeitos não-ideais).
(b)
(c) A condição (a) está mais próxima do comportamento ideal, porque