Nos casos a seguir justifique a orientação escolhida para a curva C ou a superfície S e use o teorema de Stokes para calcular:
(17.4) integralC(x-y) d x+(z-x) d y+(x-y) d z, sendo C:lx^2+y^2=1 x+z=1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral de linha
integralC (x - y),dx + (z - x),dy + (x - y),dz
pela aplicação do teorema de Stokes. Aqui o campo vetorial é
F(x,y,z)=l(P,Q,Rr)=l(x-y,;z-x,;x-yr)
e a curva C é a interseção da cilindro ,x^2+y^2=1 com o plano ,x+z=1. Vamos escolher a superfície S como o disco planar em x+z=1 limitado por C e usar Stokes:
integralC Fcdot d r ;=;integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS

Passo 2

Calculemos o rotor de F:
nablatimes F = i & j & k partialx & partialy & partialz x-y & z-x & x-y =l(partialy(x-y)-partialz(z-x),;partialz(x-y)-partialx(x-y),;partialx(z-x)-partialy(x-y)r)
Isto é
nablatimes F =l(-1-1,;0-1,;-1-(-1)r) =l(-2,,-1,,0r)

Passo 3

Parametrizamos S pela projeção no plano xy:
r(x,y)=l(x,;y,;1-xr), (x,y)in D,; D=(x,y)mid x^2+y^2<=1
A orientação de C=partial S é induzida pela regra da mão direita aplicado ao vetor normal
n=rxtimes ry. Na projeção em xy escolhemos o sentido anti-horário (ccw) para partial D, o que garante consistência com uma normal que tenha componente positiva em z.

Passo 4

Calculemos
rx=l(1,0,-1r), ry=l(0,1,0r),
rxtimes ry = i & j & k 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 =(1,,0,,1)
Tomamos portanto o vetor normal não unitário
n=(1,0,1),dA, que aponta para a região acima da projeção D.

Passo 5

Pelo teorema de Stokes
integralC Fcdot d r =integral duplaD(nablatimes F)cdot(rxtimes ry),dA =integral duplaD(-2,,-1,,0)cdot(1,0,1),dA =integral duplaD(-2),dA =-2;Area(D)
Como D é o disco de raio 1, Area(D)=pi, vem
integralC (x - y),dx + (z - x),dy + (x - y),dz = -2pi

Resposta

-2pi

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