Considere o PVI:
l y^prime=y^2-1x^2+1 y(1)=2
Calcule uma aproximação para y(32) usando o Método de Euler Modificando, com h=0,1.

Passo 1

O problema é um PVI dado por
y' = dfracy^2 - 1x^2 + 1, y(1)=2,
e queremos aproximar yl(tfrac32r) usando o Método de Euler Modificado (Heun) com passo h=0,1. O conteúdo aqui é métodos numéricos para EDO de primeira ordem, aplicando o esquema predictor–corrector de Euler Modificado.

Passo 2

O Método de Euler Modificado constrói, em cada passo,
  1. o predictor
yn+1^p = yn + h,fl(xn,ynr),
  1. o corrector
yn+1 = yn + h2l(fl(xn,ynr) + fl(xn+1,yn+1^pr)r),
onde f(x,y)=(y^2-1)/(x^2+1).

Passo 3

Iteração n=0:
x0=1, y0=2, f(x0,y0)=2^2-11^2+1=32=1,5
Predictor:
y1^p=2+0,1cdot1,5=2,15
Avalia-se
f(x1,y1^p)=2,15^2-11,1^2+1=4,6225-12,21approx1,639
Corrector:
y1=2+0,12(1,5+1,639)=2+0,05cdot3,139=2,15695

Passo 4

Iteração n=1:
x1=1,1, y1=2,15695, f(x1,y1)=2,15695^2-12,21approx1,65318
Predictor:
y2^p=2,15695+0,1cdot1,65318=2,32227
f(x2,y2^p)=2,32227^2-11,2^2+1=5,3910-12,44approx1,7996
Corrector:
y2=2,15695+0,05(1,65318+1,7996)=2,32959

Passo 5

Iteração n=2:
x2=1,2, y2=2,32959, f(x2,y2)=2,32959^2-12,44approx1,81375
Predictor:
y3^p=2,32959+0,1cdot1,81375=2,51096
f(x3,y3^p)=2,51096^2-11,3^2+1=6,3030-12,69approx1,97199
Corrector:
y3=2,32959+0,05(1,81375+1,97199)=2,51888

Passo 6

Iteração n=3:
x3=1,3, y3=2,51888, f(x3,y3)=2,51888^2-12,69approx1,98893
Predictor:
y4^p=2,51888+0,1cdot1,98893=2,71777
f(x4,y4^p)=2,71777^2-11,4^2+1=7,3870-12,96approx2,15730
Corrector:
y4=2,51888+0,05(1,98893+2,15730)=2,72619

Passo 7

Iteração n=4:
x4=1,4, y4=2,72619, f(x4,y4)=2,72619^2-12,96approx2,172996
Predictor:
y5^p=2,72619+0,1cdot2,172996=2,94349
f(x5,y5^p)=2,94349^2-11,5^2+1=8,66299-13,25approx2,35862
Corrector:
y5=2,72619+0,05(2,172996+2,35862)=2,95277

Resposta

A aproximação pelo Método de Euler Modificado com h=0,1 é
yl(tfrac32r)approx2,9528

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