Considere os campos F=(x^2-y z, y^2-x z, z^2-x y) e G=(y+z, x+z, x+y)
(11.2) Calcule integralC1 F cdot d r e integralC2 G cdot d r, sendo C1 uma curva ligando o ponto A=(3,0,0) ao ponto B=(0,4,0), e C2 uma curva ligando o ponto C=(1,2,0) ao ponto D=(0,0,5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve calcular integrais de linha para dois campos vetoriais diferentes ao longo de duas curvas específicas. A matéria que estamos usando aqui é Cálculo Vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar as curvas e como calcular o produto escalar entre o campo vetorial e o vetor derivada da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral integralC1 F cdot dr, onde F = (x^2 - yz, y^2 - xz, z^2 - xy) e C1 é a curva que vai do ponto A = (3, 0, 0) ao ponto B = (0, 4, 0).

Passo 3

Para calcular a integral de linha, precisamos parametrizar a curva C1. Vamos optar por uma parametrização linear, ou seja, uma linha reta de A a B. Podemos usar o parâmetro t, onde t varia de 0 a 1.
A parametrização será:
r(t) = (3 - 3t, 0 + 4t, 0)
Isso significa:
x(t) = 3 - 3t, y(t) = 4t, z(t) = 0

Passo 4

Agora, calculamos a derivada de r(t) em relação a t, que é dr/dt:
drdt = (-3, 4, 0)
Esse vetor representa a direção da curva.

Passo 5

Em seguida, substituímos x(t), y(t) e z(t) na expressão do campo F:
F(r(t)) = ( (3 - 3t)^2 - (4t)(0), (4t)^2 - (3 - 3t)(0), 0^2 - (3 - 3t)(4t) )
Simplificando:
F(r(t)) = (9 - 18t + 9t^2, 16t^2, -12t + 12t^2)

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar F(r(t)) cdot drdt:
(9 - 18t + 9t^2)(-3) + (16t^2)(4) + (-12t + 12t^2)(0) = -27 + 54t - 27t^2 + 64t^2
Simplificando:
-27 + 54t + 37t^2

Passo 7

Agora, integramos essa expressão de t = 0 a t = 1:
integral0^1 (-27 + 54t + 37t^2) , dt = [ -27t + 27t^2 + 373t^3 ]0^1
Calculando nos limites:
(-27 cdot 1) + (27 cdot 1^2) + 373 cdot 1^3 = -27 + 27 + 373 = 373

Passo 8

Então, a integral integralC1 F cdot dr é 373.

Passo 9

Agora, vamos calcular a integral integralC2 G cdot dr, onde G = (y + z, x + z, x + y) e C2 é a curva que vai do ponto C = (1, 2, 0) ao ponto D = (0, 0, 5).

Passo 10

Novamente, parametrizamos a curva C2 com uma linha reta de C a D usando o parâmetro t de 0 a 1:
r(t) = (1 - t, 2 - 2t, 0 + 5t)
Ou seja:
x(t) = 1 - t, y(t) = 2 - 2t, z(t) = 5t

Passo 11

Calculamos a derivada de r(t):
drdt = (-1, -2, 5)

Passo 12

Substituímos x(t), y(t) e z(t) no campo G:
G(r(t)) = ( (2 - 2t) + 5t, (1 - t) + 5t, (1 - t) + (2 - 2t) )
Simplificando:
G(r(t)) = (2 + 3t, 1 + 4t, 3 - 3t)

Passo 13

Calculamos o produto escalar G(r(t)) cdot drdt:
(2 + 3t)(-1) + (1 + 4t)(-2) + (3 - 3t)(5) = -2 - 3t - 2 - 8t + 15 - 15t
Simplificando:
(-2 - 2 + 15) + (-3t - 8t - 15t) = 11 - 26t

Passo 14

Integramos essa expressão de t = 0 a t = 1:
integral0^1 (11 - 26t) , dt = [ 11t - 13t^2 ]0^1
Calculando nos limites:
11 cdot 1 - 13 cdot 1^2 = 11 - 13 = -2

Resposta

integralC1 F cdot dr = 373 e integralC2 G cdot dr = -2

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