Considere os campos
e
(11.2) Calcule
e
, sendo
uma curva ligando o ponto
ao ponto
, e
uma curva ligando o ponto
ao ponto
(11.2) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve calcular integrais de linha para dois campos vetoriais diferentes ao longo de duas curvas específicas. A matéria que estamos usando aqui é Cálculo Vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar as curvas e como calcular o produto escalar entre o campo vetorial e o vetor derivada da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral
, onde
e
é a curva que vai do ponto
ao ponto
.
Passo 3
Para calcular a integral de linha, precisamos parametrizar a curva
. Vamos optar por uma parametrização linear, ou seja, uma linha reta de
a
. Podemos usar o parâmetro
, onde
varia de 0 a 1.
A parametrização será:
Isso significa:
Passo 4
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
, que é
:
Esse vetor representa a direção da curva.
Passo 5
Em seguida, substituímos
,
e
na expressão do campo
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, integramos essa expressão de
a
:
Calculando nos limites:
Passo 8
Então, a integral
é
.
Passo 9
Agora, vamos calcular a integral
, onde
e
é a curva que vai do ponto
ao ponto
.
Passo 10
Novamente, parametrizamos a curva
com uma linha reta de
a
usando o parâmetro
de 0 a 1:
Ou seja:
Passo 11
Calculamos a derivada de
:
Passo 12
Substituímos
,
e
no campo
:
Simplificando:
Passo 13
Calculamos o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 14
Integramos essa expressão de
a
:
Calculando nos limites: