Questão [q10-2]. Seja uma transformação linear tal que
onde B é a base canônica de R^3 e a, b in R. Então T é diagonalizável se, e somente se,
a = 0
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:R^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
[T] = 2 & 0 & 0 a & 3 & 0 5 & b-1 & 3 ,
com a,binR. Queremos achar para quais valores de a e b a transformação é diagonalizável. Para isso, vamos usar o fato de que T é diagonalizável se, e somente se, para cada valor próprio lambda a multiplicidade geométrica (dimensão do autespaço) coincide com a multiplicidade algébrica.
Passo 2
Como a matriz é triangular, seus valores próprios são as entradas da diagonal:
lambda1 = 2(mu< alg 1), lambda2 = 3(mu< alg 2)
Passo 3
Autovetores para lambda=2. Calculamos [T]-2I:
[T]-2I = 0 & 0 & 0 a & 1 & 0 5 & b-1 & 1
Resolvendo ( [T]-2I)x=0 com x=(x1,x2,x3), a segunda linha dá a,x1 + x2=0Rightarrow x2=-a,x1 e a terceira linha dá
Logo o autespaço de lambda=2 é ,x1,(1,,-a,,-5+a(b-1)) : x1inR
de dimensão 1, igual à multiplicidade algébrica, sem restrição sobre a,b.
Passo 4
Autovetores para lambda=3. Calculamos [T]-3I:
[T]-3I = -1 & 0 & 0 a & 0 & 0 5 & b-1 & 0
Da primeira linha vem x1=0. Da terceira linha fica (b-1)x2=0. O vetor geral é
x=(0,x2,x3), (b-1)x2=0,
logo
se bneq1, então x2=0 e x3 é livre, dando dimensão do autespaço igual a 1;
se b=1, então x2 e x3 são livres, dando dimensão 2.
Passo 5
Para lambda=3 a multiplicidade algébrica é 2, logo precisamos de dimensão geométrica 2. Isso ocorre exatamente quando b=1. Não há restrição sobre a. Portanto
T é diagonalizável Long<=ftrightarrow b = 1 éá
Resposta
b = 1.\newline
O parâmetro a não interfere na diagonalização.