Sejam V um espaço vetorial, dim V= 5, T: V V uma transformação linear com polinômio característico dado por
plambda(T)=lambda^2(lambda+2)^3
Considere dim ker(T)=1, dim V(-2)=2 e as matrizes:
A & =(ccccc -2 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & -2 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & -2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ), B & =(ccccc -2 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & -2 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & -2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ), C & =(cccc -2 & 0 & 0 & 0 0 0 & -2 & 1 & 0 0 & 0 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 0 & 0 & 0 & 0 ) D & =(ccccc 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & -2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & -2 )
Assinale a alternativa correta:
B é uma possível forma de Jordan de T.
D é uma possível forma de Jordan.
C é uma possível forma de Jordan.
A é uma possível forma de Jordan de T.Nenhuma matriz pode ser forma de Jordan de T.

Passo 1

O enunciado diz que T é uma transformação em um espaço de dimensão 5 cujo polinômio característico é
pT(lambda)=lambda^2(lambda+2)^3,
isto é, o valor próprio 0 aparece com multiplicidade algébrica 2 e o valor próprio -2 com multiplicidade algébrica 3. Além disso nos dão
dimker(T)=1 e dim V(-2)=2, onde V(-2)=ker(T+2I). Ou seja, a parte teórica é sobre forma de Jordan e dimensões de autoespaços.

Passo 2

Para lambda=0 temos multiplicidade algébrica 2 e dimker(T)=1, o que significa que o espaço próprio de 0 tem dimensão 1. Isso implica que há exatamente um bloco de Jordan para lambda=0 de tamanho 2. Em notação, um bloco J2(0).

Passo 3

Para lambda=-2 a multiplicidade algébrica é 3 e o espaço próprio tem dimensão 2. Logo há dois blocos de Jordan cujo tamanho total é 3, de modo que suas dimensões devem ser 2 e 1. Em outras palavras, um bloco J2(-2) e um bloco J1(-2).

Passo 4

Agora comparamos com as matrizes dadas:
  • A tem três blocos J1(-2) e um bloco J2(0), mas precisamos de apenas dois autovetores para -2, não três.
  • D tem um bloco J2(0) e um bloco J3(-2), mas isso dá só um autovetor para -2 em vez de dois.
  • C está mal escrita e sequer forma uma decomposição compatível.
  • B exibe exatamente um bloco J2(0), um bloco J2(-2) e um bloco J1(-2), que é o que concluímos ser necessário.

Resposta

B é uma possível forma de Jordan de T.

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