Sejam um espaço vetorial, uma transformação linear com polinômio característico dado por
Considere e as matrizes:
Assinale a alternativa correta: B é uma possível forma de Jordan de T. D é uma possível forma de Jordan. C é uma possível forma de Jordan. A é uma possível forma de Jordan de T.Nenhuma matriz pode ser forma de Jordan de T.
Passo 1
O enunciado diz que T é uma transformação em um espaço de dimensão 5 cujo polinômio característico é
pT(lambda)=lambda^2(lambda+2)^3,
isto é, o valor próprio 0 aparece com multiplicidade algébrica 2 e o valor próprio -2 com multiplicidade algébrica 3. Além disso nos dão dimker(T)=1 e dim V(-2)=2, onde V(-2)=ker(T+2I). Ou seja, a parte teórica é sobre forma de Jordan e dimensões de autoespaços.
Passo 2
Para lambda=0 temos multiplicidade algébrica 2 e dimker(T)=1, o que significa que o espaço próprio de 0 tem dimensão 1. Isso implica que há exatamente um bloco de Jordan para lambda=0 de tamanho 2. Em notação, um bloco J2(0).
Passo 3
Para lambda=-2 a multiplicidade algébrica é 3 e o espaço próprio tem dimensão 2. Logo há dois blocos de Jordan cujo tamanho total é 3, de modo que suas dimensões devem ser 2 e 1. Em outras palavras, um bloco J2(-2) e um bloco J1(-2).
Passo 4
Agora comparamos com as matrizes dadas:
A tem três blocos J1(-2) e um bloco J2(0), mas precisamos de apenas dois autovetores para -2, não três.
D tem um bloco J2(0) e um bloco J3(-2), mas isso dá só um autovetor para -2 em vez de dois.
C está mal escrita e sequer forma uma decomposição compatível.
B exibe exatamente um bloco J2(0), um bloco J2(-2) e um bloco J1(-2), que é o que concluímos ser necessário.