Em R^2, considere os vetores
u=(x1, x2) e v=(y1, y2)
e as seguintes funções lang<=cdot, cdotrang<=: R^2 times R^2 R dadas por
(a) lang<= u, vrang<==raiz2 x1 y1+pi x2 y2
(b) lang<= u, vrang<==2 x1 y1
(c) lang<= u, vrang<==x1 y1-x2 y2
(d) lang<= u, vrang<==x1^2 y1^2+x2^2 y2^2.
Quantas dessas funções são um produto interno em R^2 ?

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais das quatro fórmulas definem um produto interno em R^2. Isso envolve checar para cada caso:
  1. Bilinearidade em cada argumento;
  2. Simetria;
  3. Definição positiva: lang<= u,urang<=>=0 com igualdade só em u=0.

Passo 2

Lembrando que uma forma lang<=cdot,cdotrang<= em R^2 é um produto interno se, para todos u,v,winR^2 e escalar t:
&(i) bilinear: lang<= u+v,wrang<==lang<= u,wrang<=+lang<= v,wrang<=, lang<= t,u,vrang<==t,lang<= u,vrang<=, &(ii) simétrica: lang<= u,vrang<==lang<= v,urang<=, &(iii) positiva definida: lang<= u,urang<=>=0 e lang<= u,urang<==0iff u=0 é

Passo 3

Caso (a): lang<= u,vrang<==raiz2,x1y1+pi,x2y2.
  • É soma de termos a,x1y1 e b,x2y2, ambos bilineares e simétricos.
  • Para u=(x1,x2),
lang<= u,urang<==raiz2,x1^2+pi,x2^2
Como raiz2>0 e pi>0, isso é >=0 e só zera se x1=x2=0.
Logo (a) satisfaz bilinearidade, simetria e positividade estrita. É produto interno.

Passo 4

Caso (b): lang<= u,vrang<==2,x1y1.
  • Bilinear e simétrica, mas
lang<= (0,1),(0,1)rang<==2cdot0cdot0=0
ainda que (0,1)neq0. Falha positividade estrita. Não é produto interno.

Passo 5

Caso (c): lang<= u,vrang<==x1y1 - x2y2.
  • Bilinear e simétrica, porém
lang<= (0,1),(0,1)rang<==0^2 -1^2=-1<0,
então não garante lang<= u,urang<=>=0. É indefinida. Não é produto interno.

Passo 6

Caso (d): lang<= u,vrang<==x1^2y1^2 + x2^2y2^2.
  • Não é linear em u, pois por exemplo
    lang<=2u,vrang<==(2x1)^2y1^2+dots=4,(x1^2y1^2)+dotsneq2,lang<= u,vrang<=.
    Falha bilinearidade. Não é produto interno.

Resposta

Apenas 1 das funções (a) define um produto interno em R^2.

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