Em
, considere os vetores
e as seguintes funções
dadas por
(a)
(b)
(c)
(d)
.
Quantas dessas funções são um produto interno em
?
(a)
(b)
(c)
(d)
Quantas dessas funções são um produto interno em
Passo 1
O enunciado pede para verificar quais das quatro fórmulas definem um produto interno em
. Isso envolve checar para cada caso:
- Bilinearidade em cada argumento;
- Simetria;
- Definição positiva:
com igualdade só em .
Passo 2
Lembrando que uma forma
em
é um produto interno se, para todos
e escalar
:
Passo 3
Caso (a):
.
- É soma de termos
e , ambos bilineares e simétricos. - Para
,
Como
e
, isso é
e só zera se
.
Logo (a) satisfaz bilinearidade, simetria e positividade estrita. É produto interno.
Logo (a) satisfaz bilinearidade, simetria e positividade estrita. É produto interno.
Passo 4
Caso (b):
.
- Bilinear e simétrica, mas
ainda que
. Falha positividade estrita. Não é produto interno.
Passo 5
Caso (c):
.
- Bilinear e simétrica, porém
então não garante
. É indefinida. Não é produto interno.
Passo 6
Caso (d):
.
- Não é linear em
, pois por exemplo
.
Falha bilinearidade. Não é produto interno.
Resposta
Apenas 1 das funções (a) define um produto interno em
.