p(x) / q(x)=(6 x^2-230 x+2596) /(x^3-47 x^2+671 x-2737). Exprima essa função racional como combinação linear de três, funções do tipo 1 /(x-beta), sabendo que q(17)=0.

Passo 1

O enunciado dá a função racional
p(x)q(x) ;=;6x^2-230x+2596x^3-47x^2+671x-2737
e pede para escrevê-la como combinação linear de termos do tipo 1/(x-beta), sabendo que q(17)=0.
O conteúdo aqui é frações parciais–vamos fatorar o denominador em raízes lineares e depois encontrar os coeficientes de cada termo 1/(x-beta).

Passo 2

Como q(17)=0, (x-17) é um fator de q(x). Fazendo divisão sintética de
q(x)=x^3-47x^2+671x-2737
por x-17, obtemos o quociente x^2-30x+161. Assim,
q(x)=(x-17)(x^2-30x+161)
Agora fatoramos o quadrático: seu discriminante é
De<a = (-30)^2-4cdot1cdot161 =900-644=256,
logo raizDe<a=16 e as raízes são
30pm162=23e7
Portanto
q(x)=(x-17)(x-23)(x-7)

Passo 3

Procuramos constantes A,B,C tais que
6x^2-230x+2596(x-17)(x-23)(x-7) =Ax-17+Bx-23+Cx-7
Pelo método da “cobertura” (Heaviside), temos
A=p(17)(17-23)(17-7), B=p(23)(23-17)(23-7), C=p(7)(7-17)(7-23)

Passo 4

Calculando cada valor:
p(17)=6cdot17^2-230cdot17+2596=420,
(17-23)(17-7)=(-6)cdot10=-60,
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A=420-60=-7
Em seguida
p(23)=6cdot23^2-230cdot23+2596=480,
(23-17)(23-7)=6cdot16=96,
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B=48096=5
Por fim
p(7)=6cdot7^2-230cdot7+2596=1280,
(7-17)(7-23)=(-10)cdot(-16)=160,
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C=1280160=8

Resposta

6x^2-230x+2596x^3-47x^2+671x-2737 =-7x-17+5x-23+8x-7

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