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Questão [q8-1]. Considere M2 times 2(R) com produto interno dado por lang<= A, Brang<==traçode(B^t A)̧. Sejam
A=(ll 1 & 1 1 & 0 ) e B=(ll 0 & 0 1 & 0 )
e sejam d(A, B) e theta, respectivamente, a distância e o ângulo entre A e B. Então:
& square d(A, B)=raiz3 e cos theta=13 & square d(A, B)=raiz2 e cos theta=1raiz3 & square d(A, B)=raiz2 e cos theta=13 & square d(A, B)=2 e cos theta=1raiz3 & square d(A, B)=1 e cos theta=1raiz3

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço vetorial M2times2(R) com produto interno
lang<= A,Brang<= = tr(B^T A)
Pede-se a distância
d(A,B)=|A-B|
e o cosseno do ângulo
costheta=lang<= A,Brang<=|A|;|B|
Para isso, vamos calcular lang<= A,Brang<=, as normas |A| e |B|, depois usar as fórmulas de distância e ângulo.

Passo 2

Calcular o produto interno lang<= A,Brang<=. Como
A=1&11&0, B=0&01&0,
temos
lang<= A,Brang<= = tr(B^T A) = trl(0&10&0 1&11&0r) = tr1&00&0 =1

Passo 3

Calcular as normas:
|A|=raizlang<= A,Arang<= =raiztr(A^T A) =raiz1^2+1^2+1^2+0^2 =raiz3,
|B|=raizlang<= B,Brang<= =raiztr(B^T B) =raiz0^2+0^2+1^2+0^2 =1

Passo 4

Usar as fórmulas:
distância
d(A,B)=|A-B| =raiz|A|^2+|B|^2-2lang<= A,Brang<= =raiz3+1-2cdot1 =raiz2,
cosseno do ângulo
costheta =lang<= A,Brang<=|A|;|B| =1raiz3,cdot1 =1raiz3

Resposta

d(A,B)=raiz2 e costheta=dfrac1raiz3.

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