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Questão [q9-2]. Seja R^4 com o produto interno usual e considere
W=(x, y, z, w) in R^4: x+w=0, x+y+z=0
Seja W^perp o complemento ortogonal de W. Assinale a alternativa INCORRETA:
square(1,-1,0,-1),(0,-1,1,0) é base de W.
square(1,0,0,1),(0,1,1,-1) é base de W^perp.
square R^4=W oplus W^perp
square A projeção ortogonal de u=(1,1,1,0) sobre W é (0,0,0,1).
square u in W^perp se e só se u for ortogonal a uma base qualquer de W.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = (x,y,z,w)in R^4 : x+w=0,;x+y+z=0
e pede para identificar qual das afirmações é falsa. Vamos precisar de noções de dimensão, complemento ortogonal e projeção ortogonal num espaço com produto interno usual.

Passo 2

Mostramos que
são duas equações independentes em quatro incógnitas, logo (\dim W=4-2=2]. Verificando cada gerador:
são independentes, formam base de .

Passo 3

O complemento ortogonal W^perp é o espaço gerado pelos vetores-norma das equações definidoras de W, isto é, pelas linhas da matriz
1 & 0 & 0 & 1 1 & 1 & 1 & 0
logo uma base natural é (1,0,0,1),(1,1,1,0). Observando que
(0,1,1,-1) = -1,(1,0,0,1) + 1,(1,1,1,0),
vemos que (1,0,0,1),(0,1,1,-1) também é base de W^perp.

Passo 4

Para achar a projeção ortogonal de u=(1,1,1,0) sobre W, usamos que
projW(u) = u - projW^perp(u)
Mas notamos que ucdot(1,-1,0,-1)=1-1+0+0=0 e ucdot(0,-1,1,0)=-1+1=0, ou seja u é ortogonal a uma base de W, logo uin W^perp. Logo sua projeção em W é o vetor-nulo:
projW(u) = (0,0,0,0)
Portanto a afirmação de que a projeção é (0,0,0,1) está errada.

Passo 5

As demais afirmações são verdadeiras:
  • R^4 = Woplus W^perp vale sempre em espaço com produto interno.
  • uin W^perp se e só se é ortogonal a uma base de W” é definição de complemento ortogonal.

Resposta

A alternativa falsa é aquela que afirma que a projeção ortogonal de u sobre W é (0,0,0,1).

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