Questão [q9-2]. Seja com o produto interno usual e considere
Seja o complemento ortogonal de . Assinale a alternativa INCORRETA: é base de . é base de . A projeção ortogonal de sobre é . se e só se for ortogonal a uma base qualquer de .
Passo 1
O enunciado define o subespaço
e pede para identificar qual das afirmações é falsa. Vamos precisar de noções de dimensão, complemento ortogonal e projeção ortogonal num espaço com produto interno usual.
Passo 2
Mostramos que
são duas equações independentes em quatro incógnitas, logo (\dim W=4-2=2]. Verificando cada gerador:
são independentes, formam base de .
Passo 3
O complemento ortogonal é o espaço gerado pelos vetores-norma das equações definidoras de , isto é, pelas linhas da matriz
logo uma base natural é (1,0,0,1),(1,1,1,0). Observando que
(0,1,1,-1) = -1,(1,0,0,1) + 1,(1,1,1,0),
vemos que (1,0,0,1),(0,1,1,-1) também é base de W^perp.
Passo 4
Para achar a projeção ortogonal de u=(1,1,1,0) sobre W, usamos que
projW(u) = u - projW^perp(u)
Mas notamos que ucdot(1,-1,0,-1)=1-1+0+0=0 e ucdot(0,-1,1,0)=-1+1=0, ou seja u é ortogonal a uma base de W, logo uin W^perp. Logo sua projeção em W é o vetor-nulo:
projW(u) = (0,0,0,0)
Portanto a afirmação de que a projeção é (0,0,0,1) está errada.
Passo 5
As demais afirmações são verdadeiras:
R^4 = Woplus W^perp vale sempre em espaço com produto interno.
“uin W^perp se e só se é ortogonal a uma base de W” é definição de complemento ortogonal.
Resposta
A alternativa falsa é aquela que afirma que a projeção ortogonal de u sobre W é (0,0,0,1).