No espaço
dos polinômios de grau até
, considere o produto interno
Seja
dada por
, em que
. Pode-se afirmar que:
é uma isometria.
não é diagonalizável.
é um operador autoadjunto.
é sobrejetora. Nenhuma das demais alternativas.
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial real
(polinómios de grau
) munido do produto interno
e define o operador linear
por
Vamos verificar, um a um, se
é isometria, se é autoadjunto, se é sobrejetora e se é diagonalizável.
Passo 2
Para testar isometria, comparamos
com
. De fato
Como, em geral,
em parte de
, esses dois valores não coincidem para todo
. Logo,
não é isometria.
Passo 3
Para ver se
é sobrejetora, perguntamos: dado um polinómio arbitrário
, existe
com
? Em particular, tente
. A equação
implicaria
, que não é polinômio. Portanto não existe preimagem de
em
. Assim,
não é sobrejetora.
Passo 4
Agora mostramos que
é autoadjunto, ou seja
são iguais para quaisquer
. Como a multiplicação em
é comutativa, conclui-se
logo
é um operador autoadjunto.
Passo 5
Por fim, em espaço real de dimensão finita, todo operador autoadjunto é diagonalizável numa base ortonormal (teorema espectral real). Como já mostramos que
é autoadjunto, segue que
é diagonalizável, o que torna falsa a afirmação “
não é diagonalizável”.