Sejam
um espaço vetorial, com
, e
uma transformação linear diagonalizável. Considere as afirmações:
(i)
possui base formada por autovetores de
.
(ii)
é diagonal, para toda base
de
.
(iii) Se
for autovalor de
, sua multiplicidade geométrica será menor do que sua multiplicidade algébrica.
(iv) Autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais.
Assinale a alternativa correta:Somente a afirmação (i) é verdadeira. Todas as afirmações são falsas.
Somente a afirmação (iii) é falsa. Somente as afirmações (i) e (ii) são verdadeiras.As afirmações (i) e (iv) são verdadeiras.
(i)
(ii)
(iii) Se
(iv) Autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais.
Assinale a alternativa correta:Somente a afirmação (i) é verdadeira. Todas as afirmações são falsas.
Somente a afirmação (iii) é falsa. Somente as afirmações (i) e (ii) são verdadeiras.As afirmações (i) e (iv) são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado está em Álgebra Linear sobre operadores lineares em espaço vetorial de dimensão finita. Diz que
é diagonalizável e lista quatro afirmações sobre autovetores, matriz representação, e multiplicidades. Vamos usar a definição de diagonalizável (existe base de autovetores) e propriedades gerais de operadores lineares para avaliar cada afirmação.
Passo 2
Analisamos a afirmação (i): “
possui base formada por autovetores de
.”
Por definição, ser diagonalizável significa exatamente que existe uma base de
formada por autovetores de
.
Logo a afirmação (i) é verdadeira.
Por definição,
Logo a afirmação (i) é verdadeira.
Passo 3
Analisamos a afirmação (ii): “
é diagonal, para toda base
de
.”
A representação é diagonal apenas se
for escolhida como base de autovetores. Para uma base qualquer não-autovetores,
não será, em geral, diagonal.
Logo a afirmação (ii) é falsa.
A representação
Logo a afirmação (ii) é falsa.
Passo 4
Analisamos a afirmação (iii): “Se
for autovalor de
, sua multiplicidade geométrica será menor do que sua multiplicidade algébrica.”
Para diagonalizável, a multiplicidade geométrica de cada autovalor é igual à sua multiplicidade algébrica (não menor).
Logo a afirmação (iii) é falsa.
Para
Logo a afirmação (iii) é falsa.
Passo 5
Analisamos a afirmação (iv): “Autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais.”
Isso só vale se for um operador simétrico (ou normal num espaço com produto interno adequado). Aqui não há hipótese de simetria nem de produto interno, apenas de diagonalização. Em geral autovetores distintos são apenas linearly independentes, não necessariamente ortogonais.
Logo a afirmação (iv) é falsa.
Isso só vale se
Logo a afirmação (iv) é falsa.
Resposta
Somente a afirmação (i) é verdadeira.