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Questão [q8-2]. Considere M2 times 2(R) com produto interno dado por lang<= A, Brang<==traçode(B^t A)̧. Sejam
A=(ll 0 & 0 1 & 1 ) e B=(ll 1 & 0 1 & 0 )
e sejam d(A, B) e theta, respectivamente, a distância e o ângulo entre A e B. Então:
& square d(A, B)=raiz2 e cos theta=14 & square d(A, B)=2 e cos theta=12 & square d(A, B)=raiz3 e cos theta=12 & square d(A, B)=1 e cos theta=14 & square d(A, B)=raiz2 e cos theta=12

Passo 1

O enunciado define o espaço M2times2(R) com produto interno
lang<= A,Brang<= = tr(B^t A)
e pede a distância
d(A,B)=|A-B|
e o ângulo theta entre A e B, ou seja, costheta = lang<= A,Brang<=/(|A||B|).

Passo 2

Calculamos primeiro a distância.
A - B = 0&01&1 - 1&01&0 = -1&00&1
Então
|A-B|^2 = trl((A-B)^t(A-B)r) = trl(1&00&1r) = 2,
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d(A,B)=|A-B|=raiz2

Passo 3

Agora o cosseno do ângulo.
Primeiro o produto interno:
lang<= A,Brang<= = tr(B^t A) = tr!l(1&10&00&01&1r) = tr!l(1&10&0r) =1
Em seguida as normas de A e B:
|A|^2 = tr(A^t A)=2, |B|^2 = tr(B^t B)=2,
logo |A|=|B|=raiz2.
Portanto
costheta = lang<= A,Brang<=|A||B| = 1raiz2,raiz2 = 12

Passo 4

Comparando com as alternativas dadas, concluímos que a que coincide é
d(A,B)=raiz2ecostheta=12,
que é a quinta opção.

Resposta

A quinta opção: d(A,B)=raiz2 e costheta=tfrac12.

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