No espaço Pn(R) dos polinômios de grau até n in N, considere o produto interno
lang<= r, srang<==integral0^1 r(t) s(t) d t, r, s in Pn(R)
Seja T: Pn(R) Pn(R) dada por T(p)=p^prime prime. Pode-se afirmar que:

Passo 1

O espaço é Pn(R) com produto interno
lang<= r,srang<==integral0^1r(t),s(t),dt
e o operador é T(p)=p''. Queremos verificar se existe um adjunto T^* em Pn(R) tal que
lang<= T(p),qrang<= = lang<= p,T^*(q)rang<=
para todos p,qin Pn(R).

Passo 2

Calculemos lang<= T(p),qrang<==integral0^1p''(t),q(t),dt por partes uma vez, tomando u=q(t) e dv=p''(t),dt. Obtemos
integral0^1p''(t),q(t),dt = l[p'(t),q(t)r]0^1 - integral0^1p'(t),q'(t),dt

Passo 3

Agora integramos por partes o termo integral0^1p'(t),q'(t),dt, usando u=q'(t) e dv=p'(t),dt. Isso dá
integral0^1p'(t),q'(t),dt = l[p(t),q'(t)r]0^1 - integral0^1p(t),q''(t),dt
Substituindo,
integral0^1p'',q = l[p'(1)q(1)-p'(0)q(0)r] - l[p(1)q'(1)-p(0)q'(0)r] + integral0^1p(t),q''(t),dt

Passo 4

Reescrevendo,
lang<= T(p),qrang<= = integral0^1p(t),q''(t),dt + l[p'(1)q(1)-p'(0)q(0)-p(1)q'(1)+p(0)q'(0)r]
Para que exista T^*(q)in Pn(R) tal que lang<= p,T^*(q)rang<==integral0^1p,T^*(q), precisaríamos eliminar os termos de fronteira dependentes de p(0),p(1),p'(0),p'(1). Mas esses termos não se escrevem como integral0^1p(t),f(t),dt para nenhum polinômio f.

Resposta

Não existe adjunto de T em Pn(R) com o produto interno dado; em particular, T não é auto-adjunto.

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