No espaço
dos polinômios de grau até
, considere o produto interno
Seja
dada por
. Pode-se afirmar que:
Passo 1
O espaço é
com produto interno
e o operador é
. Queremos verificar se existe um adjunto
em
tal que
para todos
.
Passo 2
Calculemos
por partes uma vez, tomando
e
. Obtemos
Passo 3
Agora integramos por partes o termo
, usando
e
. Isso dá
Substituindo,
Passo 4
Reescrevendo,
Para que exista
tal que
, precisaríamos eliminar os termos de fronteira dependentes de
. Mas esses termos não se escrevem como
para nenhum polinômio
.
Resposta
Não existe adjunto de
em
com o produto interno dado; em particular,
não é auto-adjunto.