Sejam V um espaço euclidiano, dim V<infty, B base ortonormal de V, T: V V um operador autoadjunto e A=[T]B, B. Considere as afirmações:
(a) T é diagonalizável.
(b) T é uma isometria.
(c) Se lambda, mu in R forem autovalores distintos de T, então os autovetores correspondentes serão ortonormais.
(d) A é uma matriz triangular.
Quantas afirmações são verdadeiras?

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço euclidiano de dimensão finita, B é uma base ortonormal de V, Tcolon Vto V é um operador autoadjunto e A=[T]B,B é sua matriz em relação a B. Queremos verificar a veracidade de cada uma das afirmações:
(a) T é diagonalizável;
(b) T é uma isometria;
(c) se lambda,muinR são autovalores distintos de T, então autovetores correspondentes são ortonormais;
(d) A é uma matriz triangular.

Passo 2

Afirmação (a): “ T é diagonalizável.”
Um dos resultados centrais do Teorema espectral em espaços euclidianos diz que todo operador autoadjunto é diagonalizável por uma base ortonormal. Ou seja, existe uma base ortonormal que torna a matriz de T diagonal. Logo, (a) é verdadeira.

Passo 3

Afirmação (b): “ T é uma isometria.”
Para ser isometria, T deve satisfazer
lang<= T(x),T(y)rang<= = lang<= x,yrang<=
ou equivalentemente
T^*T = I
Mas autoadjuntude significa apenas T = T^*, não implica T^2=I. Em geral autovalores de T podem ser quaisquer reais, não apenas pm1. Portanto, (b) é falsa.

Passo 4

Afirmação (c): “Se lambda,mu forem autovalores distintos de T, então os autovetores correspondentes serão ortonormais.”
Pelo fato de T ser autoadjunto, autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais. Como podemos normalizá-los, obtemos um conjunto ortonormal. Logo, (c) é verdadeira.

Passo 5

Afirmação (d): “ A é uma matriz triangular.”
A matriz A de um operador autoadjunto numa base ortonormal é simétrica ( A^T=A), mas simétrica não significa triangular (a não ser em casos muito especiais, quando já for diagonal). Não há razão para que, na base B dada, A seja triangular. Assim, (d) é falsa.

Passo 6

Contamos as afirmações verdadeiras: (a) e (c). Total =2.

Resposta

2

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