Sejam
um espaço euclidiano,
base ortonormal de
um operador autoadjunto e
. Considere as afirmações:
(a)
é diagonalizável.
(b)
é uma isometria.
(c)
forem autovalores distintos de
, então os autovetores correspondentes serão ortonormais.
(d)
é uma matriz triangular.
Quantas afirmações são verdadeiras?
(a)
(b)
(c)
(d)
Quantas afirmações são verdadeiras?
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço euclidiano de dimensão finita,
é uma base ortonormal de
,
é um operador autoadjunto e
é sua matriz em relação a
. Queremos verificar a veracidade de cada uma das afirmações:
(a) é diagonalizável;
(b) é uma isometria;
(c) se são autovalores distintos de
, então autovetores correspondentes são ortonormais;
(d) é uma matriz triangular.
(a)
(b)
(c) se
(d)
Passo 2
Afirmação (a): “
é diagonalizável.”
Um dos resultados centrais do Teorema espectral em espaços euclidianos diz que todo operador autoadjunto é diagonalizável por uma base ortonormal. Ou seja, existe uma base ortonormal que torna a matriz de diagonal. Logo, (a) é verdadeira.
Um dos resultados centrais do Teorema espectral em espaços euclidianos diz que todo operador autoadjunto é diagonalizável por uma base ortonormal. Ou seja, existe uma base ortonormal que torna a matriz de
Passo 3
Afirmação (b): “
é uma isometria.”
Para ser isometria, deve satisfazer
Para ser isometria,
ou equivalentemente
Mas autoadjuntude significa apenas
, não implica
. Em geral autovalores de
podem ser quaisquer reais, não apenas
. Portanto, (b) é falsa.
Passo 4
Afirmação (c): “Se
forem autovalores distintos de
, então os autovetores correspondentes serão ortonormais.”
Pelo fato de ser autoadjunto, autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais. Como podemos normalizá-los, obtemos um conjunto ortonormal. Logo, (c) é verdadeira.
Pelo fato de
Passo 5
Afirmação (d): “
é uma matriz triangular.”
A matriz de um operador autoadjunto numa base ortonormal é simétrica (
), mas simétrica não significa triangular (a não ser em casos muito especiais, quando já for diagonal). Não há razão para que, na base
dada,
seja triangular. Assim, (d) é falsa.
A matriz
Passo 6
Contamos as afirmações verdadeiras: (a) e (c). Total
.