Sejam V um espaço vetorial, dim V= 5, T: V V uma transformação linear com polinômio característico dado por
plambda(T)=lambda^3(lambda+2)^2
Considere dim ker(T)=1, dim V(-2)=2 e as matrizes:
rl A & =(ccccc -2 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & -2 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ), B & =(ccccc -2 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & -2 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ), C & =(cccc -2 & 0 & 0 & 0 0 0 & -2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 0 & 0 & 0 & 0 ) 0 & 0 ) 0
Assinale a alternativa correta:
square D é uma possível forma de Jordan de T.
square B é uma possível forma de Jordan.
square C é uma possível forma de Jordan.
square é uma possível forma de Jordan de T.
square Nenhuma matriz pode ser forma de Jordan de T.

Passo 1

O enunciado dá V com dim V=5 e Tcolon Vto V de polinômio característico
plambda(T)=lambda^3(lambda+2)^2
com dimker T=1 e dim V(-2)=2. Apresentam-se as matrizes A, B, C candidatas à forma de Jordan de T.

Passo 2

Para lambda=0 temos multiplicidade algébrica 3 e multiplicidade geométrica
dimker(T-0cdot I)=dimker T=1. Isso implica haver exatamente um bloco de Jordan de tamanho 3 associado a 0.

Passo 3

Para lambda=-2 a multiplicidade algébrica é 2 e a geométrica
dim V(-2)=2. Logo haverá dois blocos de Jordan de tamanho 1 cada para o valor -2.

Passo 4

A matriz A tem um bloco de Jordan de tamanhos 2 e 1 para lambda=0, pois só há 1 na posição (4,5) e nenhuma em (3,4). Assim dimker T seria 2, o que contraria dimker T=1.

Passo 5

A matriz B apresenta um bloco 3times3 para lambda=0 (com uns em (3,4) e (4,5)) e dois blocos 1times1 para lambda=-2. Isso coincide com um bloco de tamanho 3 para 0 e dois de tamanho 1 para -2.

Resposta

B é uma possível forma de Jordan de T.

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