Sejam uma transformação linear, base canônica do e o operador identidade em . Considere
Então, qual das seguintes multiplicações de matrizes é igual a ?
Passo 1
Resumo do enunciado e identificação do que precisamos
O enunciado nos dá um operador linear T:R^3toR^3,
cujo espaço próprio associado a lambda=1 é ker(T-I)=span(1,1,0),
o espaço próprio associado a lambda=2 é ker(T-2I)=span(0,0,1),
e ainda temos (1,-1,0)inker(T), isto é, é autovetor de valor próprio 0.
Logo os três autovetores
v1=(1,1,0), v2=(0,0,1), v3=(1,-1,0)
são linearmente independentes e diagonalizam T.
Para montar a matriz [T]C,C na base canônica, vamos formar a fatoração
[T]C,C=P,D,P^-1,
onde as colunas de P são os autovetores escolhidos e D é a matriz diagonal dos autovalores correspondentes.
Passo 2
Montagem de P e de D
Escolhemos a ordem das colunas de P conforme o enunciado sugeriu na lista de candidatos, ou seja
P= 0 & 1 & 1 0 & -1& 1 1 & 0 & 0 ,
cuja coluna 1 é (0,0,1) (autovalor 2), coluna 2 é (1,-1,0) (autovalor 0) e coluna 3 é (1,1,0) (autovalor 1).
Portanto a matriz diagonal D dos autovalores, na mesma ordem, é
D= 2&0&0 0&0&0 0&0&1
Passo 3
Expressão final de [T]C,C
Pela diagonalização de T temos