Sejam T: R^3 R^3 uma transformação linear, C base canônica do R^3 e I o operador identidade em R^3. Considere
& ker(T-I)=[(1,1,0)], ker(T-2 I)=[(0,0,1)] & e (1,-1,0) in ker(T)
Então, qual das seguintes multiplicações de matrizes é igual a [T]C, C ?
& square[ccc 0 & 1 & 1 0 & -1 & 1 1 & 0 & 0 ][lll 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 ][ccc 0 & 1 & 1 0 & -1 & 1 1 & 0 & 0 ] & square[ccc 0 & 1 & 1 0 & -1 & 1 1 & 0 & 0 ]^-1[lll 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 ][ccc 0 & 1 & 1 0 & -1 & 1 1 & 0 & 0 ] & square[ccc 0 & 1 & 1 0 & -1 & 1 1 & 0 & 0 ][lll 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 ][ccc 0 & 1 & 1 0 & -1 & 1 1 & 0 & 0 ] & square[ccc 0 & 1 & 1 0 & -1 & 1 1 & 0 & 0 ]^-1[lll 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 ][ccc 0 & 1 & 1 0 & -1 & 1 1 & 0 & 0 ] & square[ccc 0 & 1 & 1 0 & -1 & 1 1 & 0 & 0 ][lll 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 ][ccc 0 & 1 & 1 0 & -1 & 1 1 & 0 & 0 ]^-

Passo 1

Resumo do enunciado e identificação do que precisamos
O enunciado nos dá um operador linear
T:R^3toR^3,
cujo espaço próprio associado a lambda=1 é
ker(T-I)=span(1,1,0),
o espaço próprio associado a lambda=2 é
ker(T-2I)=span(0,0,1),
e ainda temos (1,-1,0)inker(T), isto é, é autovetor de valor próprio 0.
Logo os três autovetores
v1=(1,1,0), v2=(0,0,1), v3=(1,-1,0)
são linearmente independentes e diagonalizam T.
Para montar a matriz [T]C,C na base canônica, vamos formar a fatoração
[T]C,C=P,D,P^-1,
onde as colunas de P são os autovetores escolhidos e D é a matriz diagonal dos autovalores correspondentes.

Passo 2

Montagem de P e de D
Escolhemos a ordem das colunas de P conforme o enunciado sugeriu na lista de candidatos, ou seja
P= 0 & 1 & 1 0 & -1& 1 1 & 0 & 0 ,
cuja coluna 1 é (0,0,1) (autovalor 2), coluna 2 é (1,-1,0) (autovalor 0) e coluna 3 é (1,1,0) (autovalor 1).
Portanto a matriz diagonal D dos autovalores, na mesma ordem, é
D= 2&0&0 0&0&0 0&0&1

Passo 3

Expressão final de [T]C,C
Pela diagonalização de T temos
[T]C,C = P,D,P^-1 = 0 & 1 & 1 0 & -1& 1 1 & 0 & 0 2&0&0 0&0&0 0&0&1 0 & 1 & 1 0 & -1& 1 1 & 0 & 0 ^-1

Resposta

A multiplicação que equivale a [T]C,C é
boxed 0 & 1 & 1 0 & -1& 1 1 & 0 & 0 2&0&0 0&0&0 0&0&1 0 & 1 & 1 0 & -1& 1 1 & 0 & 0 ^-1

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