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Questão [q9-1]. Seja
com o produto interno usual e considere
Seja
o complemento ortogonal de
. Assinale a alternativa INCORRETA:
é base de
é base de
.
A projeção ortogonal de
sobre
é
.
se e só se
for ortogonal a uma base qualquer de
.
A projeção ortogonal de
Passo 1
Resumimos o enunciado: temos o espaço vetorial
com o produto interno usual e o subespaço
Como há duas restrições lineares independentes,
e, portanto,
.
Passo 2
Para encontrar uma base de
e é realmente uma base de
, confirmando a primeira afirmação.
Passo 3
Os vetores normais às duas equações que definem
são
portanto
Para testar se
é base de
, basta verificar se
é ortogonal a um vetor de
, por exemplo a
:
Logo
e a afirmação é falsa.
Passo 4
Em qualquer espaço euclidiano de dimensão finita vale o teorema da decomposição ortogonal:
confirmando a terceira afirmação.
Passo 5
O vetor
satisfaz
e
(com
), portanto
. Isso implica que sua projeção ortogonal sobre
é o vetor nulo, confirmando a quarta afirmação.
Passo 6
Por definição, um vetor
pertence a
se e somente se for ortogonal a todos os vetores de
. Basta testar ortogonalidade em uma base de
para garantir que
está em
. Assim, a quinta afirmação também é verdadeira.
Resposta
A alternativa incorreta é:
é base de
.