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Questão [q9-1]. Seja R^4 com o produto interno usual e considere
W=(x, y, z, w) in R^4: x+y=0,2 x-y+z=0
Seja W^perp o complemento ortogonal de W. Assinale a alternativa INCORRETA: (1,-1,-3,0),(0,0,0,1) é base de W
(1,1,0,0),(3,0,-1,0) é base de W^perp.
R^4=W oplus W^perp
A projeção ortogonal de u=(3,-3,-9,4) sobre W^perp é (0,0,0,0). u in W^perp se e só se u for ortogonal a uma base qualquer de W.

Passo 1

Resumimos o enunciado: temos o espaço vetorial R^4 com o produto interno usual e o subespaço
W = (x,y,z,w)in R^4 mid x+y=0,;2x-y+z=0
Como há duas restrições lineares independentes, dim W=2 e, portanto, dim W^perp=4-2=2.

Passo 2

Para encontrar uma base de
e é realmente uma base de , confirmando a primeira afirmação.

Passo 3

Os vetores normais às duas equações que definem W são
n1 = (1,1,0,0), n2 = (2,-1,1,0),
portanto
W^perp = spann1,n2
Para testar se (1,1,0,0),(3,0,-1,0) é base de W^perp, basta verificar se (3,0,-1,0) é ortogonal a um vetor de W, por exemplo a (1,-1,-3,0):
(3,0,-1,0)cdot(1,-1,-3,0) = 3 + 0 + 3 = 6 neq 0
Logo (3,0,-1,0)notin W^perp e a afirmação é falsa.

Passo 4

Em qualquer espaço euclidiano de dimensão finita vale o teorema da decomposição ortogonal:
R^4 = W oplus W^perp,
confirmando a terceira afirmação.

Passo 5

O vetor u=(3,-3,-9,4) satisfaz y=-x e z=-3x (com x=3), portanto uin W. Isso implica que sua projeção ortogonal sobre W^perp é o vetor nulo, confirmando a quarta afirmação.

Passo 6

Por definição, um vetor u pertence a W^perp se e somente se for ortogonal a todos os vetores de W. Basta testar ortogonalidade em uma base de W para garantir que u está em W^perp. Assim, a quinta afirmação também é verdadeira.

Resposta

A alternativa incorreta é:
(1,1,0,0),(3,0,-1,0) é base de W^perp.

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