Sejam
um espaço euclidiano,
base ortonormal de
um operador autoadjunto e
. Considere as afirmações:
(a)
é diagonalizável.
(b)
é uma isometria.
(c) Os vetores de
são autovalores de
.
(d)
é uma matriz simétrica.
Quantas afirmações são verdadeiras?
0
1
2
(a)
(b)
(c) Os vetores de
(d)
Quantas afirmações são verdadeiras?
0
1
2
Passo 1
O enunciado envolve um espaço euclidiano real
de dimensão finita, uma base ortonormal
de
, e um operador linear autoadjunto
. Denotamos por
a matriz de
nessa base. Vamos analisar cada afirmação usando o Teorema espectral para operadores simétricos e definições de isometria.
Passo 2
Analisando (a): um operador autoadjunto sobre um espaço euclidiano real é representado por uma matriz simétrica em qualquer base ortonormal, e pelo Teorema espectral todo operador simétrico é diagonalizável por uma transformação ortogonal. Logo,
portanto (a) é verdadeira.
Passo 3
Analisando (b):
é isometria se e somente se
para todo
, ou equivalentemente
. Mas o fato de
ser simétrica não garante
(por exemplo, autovalores podem ser quaisquer reais, não necessariamente
). Logo, (b) é falsa em geral.
Passo 4
Analisando (c): diz que “os vetores de
são autovalores de
”. Primeiro, um vetor não pode ser autovalor. Além disso, como
é uma base ortonormal arbitrária (não necessariamente a base de autovetores garantida pelo Teorema espectral), não há razão para que seus vetores sejam autovetores de
. Portanto, (c) é falsa.
Passo 5
Analisando (d): como
é autoadjunto e
é ortonormal, sua matriz
satisfaz
ou seja,
é simétrica. Logo, (d) é verdadeira.
Resposta
2