Sejam V um espaço euclidiano, dim V<infty, B base ortonormal de V, T: V V um operador autoadjunto e A=[T]B, B. Considere as afirmações:
(a) T é diagonalizável.
(b) T é uma isometria.
(c) Os vetores de B são autovalores de V.
(d) A é uma matriz simétrica.
Quantas afirmações são verdadeiras?
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Passo 1

O enunciado envolve um espaço euclidiano real V de dimensão finita, uma base ortonormal B de V, e um operador linear autoadjunto T:Vto V. Denotamos por A=[T]B,B a matriz de T nessa base. Vamos analisar cada afirmação usando o Teorema espectral para operadores simétricos e definições de isometria.

Passo 2

Analisando (a): um operador autoadjunto sobre um espaço euclidiano real é representado por uma matriz simétrica em qualquer base ortonormal, e pelo Teorema espectral todo operador simétrico é diagonalizável por uma transformação ortogonal. Logo,
T é diagonalizável, éá
portanto (a) é verdadeira.

Passo 3

Analisando (b): T é isometria se e somente se lang<= T(x),T(x)rang<==lang<= x,xrang<= para todo x, ou equivalentemente A^T A=I. Mas o fato de A ser simétrica não garante A^T A=I (por exemplo, autovalores podem ser quaisquer reais, não necessariamente pm1). Logo, (b) é falsa em geral.

Passo 4

Analisando (c): diz que “os vetores de B são autovalores de V”. Primeiro, um vetor não pode ser autovalor. Além disso, como B é uma base ortonormal arbitrária (não necessariamente a base de autovetores garantida pelo Teorema espectral), não há razão para que seus vetores sejam autovetores de T. Portanto, (c) é falsa.

Passo 5

Analisando (d): como T é autoadjunto e B é ortonormal, sua matriz A satisfaz
A^T = A,
ou seja, A é simétrica. Logo, (d) é verdadeira.

Resposta

2

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