Seja W o conjunto formado por todas a funções f: R R que satisfaça a equação diferencial f^primeprime+f=0 verifique se W é um subespaço vetorial de F(R, R).

Passo 1

O enunciado define
W = ,f:RtoRmid f''+f=0
e pede para verificar se W é subespaço vetorial de F(R,R).
Para isso, vamos usar o critério de subespaço: mostrar que W contém a função zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar.

Passo 2

Vamos mostrar que a função zero pertence a W. Defina f0(x)=0 para todo x. Então
f0''(x)+f0(x)=0+0=0,
logo f0in W e Wneqemptyset.

Passo 3

Verificação de fechamento sob soma. Suponha f,gin W. Então
f''+f=0 e g''+g=0
Para h=f+g temos
h''+h=(f+g)''+(f+g)=f''+g''+f+g=(f''+f)+(g''+g)=0+0=0,
portanto f+gin W.

Passo 4

Verificação de fechamento sob multiplicação escalar. Seja alphainR e fin W. Então
f''+f=0
Para h=alpha f vale
h''+h=(alpha f)''+(alpha f)=alpha f''+alpha f=alpha(f''+f)=alphacdot 0=0,
logo alpha fin W.

Passo 5

Concluímos que W contém a função zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, portanto W é um subespaço vetorial de F(R,R).

Resposta

Sim. W é subespaço vetorial de F(R,R).

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