Seja
o conjunto formado por todas a funções
que satisfaça a equação diferencial
verifique se
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado define
e pede para verificar se é subespaço vetorial de
.
Para isso, vamos usar o critério de subespaço: mostrar que contém a função zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar.
e pede para verificar se
Para isso, vamos usar o critério de subespaço: mostrar que
Passo 2
Vamos mostrar que a função zero pertence a
. Defina
para todo
. Então
logo
e
.
Passo 3
Verificação de fechamento sob soma. Suponha
. Então
Para
temos
portanto
.
Passo 4
Verificação de fechamento sob multiplicação escalar. Seja
e
. Então
Para
vale
logo
.
Passo 5
Concluímos que
contém a função zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, portanto
é um subespaço vetorial de
.
Resposta
Sim.
é subespaço vetorial de
.