Sejam
um espaço vetorial, com
, e
uma transformação linear diagonalizável. Considere as afirmações:
(i)
é diagonalizável, para toda base
de
.
(ii)
é soma direta dos seus autoespaços distintos.
(iii)
possui base formada por autovetores de
.
(iv) Existe uma base
de
tal que
é diagonal.
Assinale a alternativa correta:Todas as afirmações são verdadeiras.Nenhuma afirmação é verdadeira.Somente a afirmação (ii) é verdadeira.Somente as afirmações (i) e (iii) são verdadeiras.Somente a afirmação (iv) é verdadeira.
(i)
(ii)
(iii)
(iv) Existe uma base
Assinale a alternativa correta:Todas as afirmações são verdadeiras.Nenhuma afirmação é verdadeira.Somente a afirmação (ii) é verdadeira.Somente as afirmações (i) e (iii) são verdadeiras.Somente a afirmação (iv) é verdadeira.
Passo 1
O enunciado diz que
é de dimensão finita e que
é diagonalizável. Precisamos decidir a veracidade das afirmações:
(i) Em toda base , a matriz
é diagonalizável como matriz.
(ii) é a soma direta dos seus autoespaços distintos.
(iii) Existe base de formada por autovetores de
.
(iv) Existe base tal que
é diagonal.
(i) Em toda base
(ii)
(iii) Existe base de
(iv) Existe base
Passo 2
Por definição, dizer que
é diagonalizável significa que existe uma base
de
em que
seja uma matriz diagonal. Dessa definição seguem imediatamente:
– A existência dessa base de autovetores é exatamente (iii).
– O fato de a matriz ser diagonal em é (iv).
– A existência dessa base de autovetores é exatamente (iii).
– O fato de a matriz ser diagonal em
Passo 3
Além disso, para um operador ser diagonalizável é necessário e suficiente que o polinômio mínimo se fatorize em fatores lineares distintos. Isso garante que
ou seja, (ii) é verdadeira.
Por fim, toda matriz semelhante a uma diagonal é diagonalizável. Seja
qualquer base; como
é similar à matriz diagonal obtida em
, segue que
também é diagonalizável. Assim (i) vale para qualquer base
.
Resposta
Todas as afirmações são verdadeiras.