Sejam V um espaço vetorial, com dim V<infty, e T: V V uma transformação linear diagonalizável. Considere as afirmações:
(i) [T]C, C é diagonalizável, para toda base C de V.
(ii) V é soma direta dos seus autoespaços distintos.
(iii) V possui base formada por autovetores de T.
(iv) Existe uma base B de V tal que [T]B, B é diagonal.
Assinale a alternativa correta:Todas as afirmações são verdadeiras.Nenhuma afirmação é verdadeira.Somente a afirmação (ii) é verdadeira.Somente as afirmações (i) e (iii) são verdadeiras.Somente a afirmação (iv) é verdadeira.

Passo 1

O enunciado diz que V é de dimensão finita e que Tcolon Vto V é diagonalizável. Precisamos decidir a veracidade das afirmações:
(i) Em toda base C, a matriz [T]C,C é diagonalizável como matriz.
(ii) V é a soma direta dos seus autoespaços distintos.
(iii) Existe base de V formada por autovetores de T.
(iv) Existe base B tal que [T]B,B é diagonal.

Passo 2

Por definição, dizer que T é diagonalizável significa que existe uma base B de V em que [T]B,B seja uma matriz diagonal. Dessa definição seguem imediatamente:
– A existência dessa base de autovetores é exatamente (iii).
– O fato de a matriz ser diagonal em B é (iv).

Passo 3

Além disso, para um operador ser diagonalizável é necessário e suficiente que o polinômio mínimo se fatorize em fatores lineares distintos. Isso garante que
V = opluslambda autovalor Elambda,
ou seja, (ii) é verdadeira.
Por fim, toda matriz semelhante a uma diagonal é diagonalizável. Seja C qualquer base; como [T]C,C é similar à matriz diagonal obtida em B, segue que [T]C,C também é diagonalizável. Assim (i) vale para qualquer base C.

Resposta

Todas as afirmações são verdadeiras.

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