Em R^3, considere os vetores
u=(x1, x2, x3) e v=(y1, y2, y3)
e as seguintes funções lang<=cdot, cdotrang<=: R^3 times R^3 R dadas por
(a) lang<= u, vrang<==raiz2 x1 y1+pi x2 y2+7 x3 y3
(b) lang<= u, vrang<==2 x1 y1+4 x3 y3
(c) lang<= u, vrang<==x1 y1-x2 y2+x3 y3
(d) lang<= u, vrang<==x1^2 y1^2+x2^2 y2^2+x3^2 y3^2.
Quantas dessas funções são um produto interno em R^3 ?

Passo 1

O enunciado apresenta quatro aplicações lang<=cdot,cdotrang<=:R^3timesR^3toR dadas em (a), (b), (c) e (d). Pergunta-se quantas delas são efetivamente produtos internos em R^3.
Conteúdo: definição de produto interno.
Precisaremos usar que lang<=cdot,cdotrang<= é produto interno se, para todos u,v,winR^3 e todo escalar alpha, valem:
  1. Bilinearidade: lang<= u+v,wrang<==lang<= u,wrang<=+lang<= v,wrang<= e lang<=alpha u,vrang<==alphalang<= u,vrang<=.
  2. Simetria: lang<= u,vrang<==lang<= v,urang<=.
  3. Positividade definida: lang<= u,urang<=>0 sempre que uneq0.

Passo 2

Verificando bilinearidade e simetria:
(a) lang<= u,vrang<==raiz2,x1y1+pi,x2y2+7,x3y3 é soma de termos do tipo constante vezes xi yi, logo é bilinear e claramente simétrica.
(b) lang<= u,vrang<==2,x1y1+4,x3y3 também é bilinear e simétrica (faltando apenas o termo em x2y2, mas o que está definido é linear em cada coordenada).
(c) lang<= u,vrang<==x1y1 - x2y2 + x3y3 idem: soma de termos bilineares simétricos (com sinal negativo em um deles).
(d) lang<= u,vrang<==x1^2y1^2 + x2^2y2^2 + x3^2y3^2 NÃO é linear em u nem em v (por exemplo, lang<= u+u',vrang<=neqlang<= u,vrang<=+lang<= u',vrang<=), então falha bilinearidade.

Passo 3

Verificando positividade definida nos casos bilineares (a), (b) e (c):
(a)
lang<= u,urang<= = raiz2,x1^2 + pi,x2^2 + 7,x3^2
Como raiz2,pi,7>0, segue que lang<= u,urang<=>0 para todo uneq0. Portanto (a) é positivo-definido.
(b)
lang<= u,urang<= = 2,x1^2 +4,x3^2
Aqui lang<= u,urang<==0 sempre que x1=0 e x3=0, mesmo que x2neq0. Logo não é definida positiva (é apenas semidefinida).
(c)
lang<= u,urang<= = x1^2 - x2^2 + x3^2
Para u=(0,1,0) lang<= u,urang<==-1<0, violando a positividade.

Resposta

Apenas a aplicação (a) satisfaz todas as condições de produto interno. Portanto, o número de funções que são produto interno em R^3 é 1.

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