Em
, considere os vetores
e as seguintes funções
dadas por
(a)
(b)
(c)
(d)
.
Quantas dessas funções são um produto interno em
?
(a)
(b)
(c)
(d)
Quantas dessas funções são um produto interno em
Passo 1
O enunciado apresenta quatro aplicações
dadas em (a), (b), (c) e (d). Pergunta-se quantas delas são efetivamente produtos internos em
.
Conteúdo: definição de produto interno.
Precisaremos usar que é produto interno se, para todos
e todo escalar
, valem:
Conteúdo: definição de produto interno.
Precisaremos usar que
- Bilinearidade:
e . - Simetria:
. - Positividade definida:
sempre que .
Passo 2
Verificando bilinearidade e simetria:
(a) é soma de termos do tipo constante vezes
, logo é bilinear e claramente simétrica.
(b) também é bilinear e simétrica (faltando apenas o termo em
, mas o que está definido é linear em cada coordenada).
(c) idem: soma de termos bilineares simétricos (com sinal negativo em um deles).
(d) NÃO é linear em
nem em
(por exemplo,
), então falha bilinearidade.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 3
Verificando positividade definida nos casos bilineares (a), (b) e (c):
(a)
(a)
Como
, segue que
para todo
. Portanto (a) é positivo-definido.
(b)
(b)
Aqui
sempre que
e
, mesmo que
. Logo não é definida positiva (é apenas semidefinida).
(c)
(c)
Para
dá
, violando a positividade.
Resposta
Apenas a aplicação (a) satisfaz todas as condições de produto interno. Portanto, o número de funções que são produto interno em
é 1.