1. Catcule o volume do sólido do primeiro octante, delimitado pelos planos x=1, x=3, y=0, z=0 e y+z=3.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido
delimitado por
,x=1, ,x=3, ,y=0, ,z=0 e ,y+z=3
no primeiro octante.
O conteúdo é cálculo de volume por integral tripla, e vamos precisar descrever a região em coordenadas cartesianas e usar integração iterada.

Passo 2

Para cada x entre 1 e 3, a secção transversal no plano yz é o triângulo
(y,z)mid y>=0,;z>=0,;y+z<=3
Assim os limites são
1<= x<=3, 0<= y<=3, 0<= z<=3-y

Passo 3

Escrevemos o volume como
V=integralx=1^3integraly=0^3integralz=0^3-ydz,dy,dx

Passo 4

Integramos em z e depois em y:
integralz=0^3-ydz=3-y,
integraly=0^3(3-y),dy =l[3y-tfracy^22r]0^3 =9-tfrac92 =tfrac92

Passo 5

Agora integramos em x:
V=integral1^3tfrac92,dx =tfrac92,(3-1) =9

Resposta

O volume do sólido é 9.

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