y^prime prime prime+12 y^prime prime+36 y^prime=0, y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' + 12,y'' + 36,y' = 0
sujeita às condições iniciais
y(0)=0, y'(0)=1
O método que vamos usar é a resolução pelo polinômio característico.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico associado à equação homogênea:
r^3 + 12r^2 + 36r = 0
Fatorando, temos
r,(r^2 + 12r + 36)=r,(r+6)^2=0,
logo as raízes são r=0 (simples) e r=-6 (dupla).

Passo 3

Pela teoria de equações lineares de ordem 3 com raízes reais, a solução geral é
y(x) = C1 + C2 e^-6x + C3,x,e^-6x,
onde C1,C2,C3 são constantes a determinar.

Passo 4

Aplicamos as condições iniciais:
  1. Em x=0, y(0)=C1 + C2 + C3cdot 0 = C1 + C2 = 0 Longrightarrow C1 = -C2
  2. Derivando, y'(x) = -6C2 e^-6x + C3 e^-6x -6C3 x e^-6x =l(-6C2 + C3r)e^-6x -6C3 x e^-6x Em x=0, y'(0)=(-6C2 + C3)cdot1 -6C3cdot0 = -6C2 + C3 = 1 Longrightarrow C3 = 1 + 6C2

Passo 5

Repare que temos apenas duas equações para três constantes, faltando uma condição inicial. Portanto a família de soluções que satisfaz as duas condições dadas é
y(x) = -C2 + C2 e^-6x + l(1+6C2r),x,e^-6x,
onde C2 é parâmetro livre. Ou, reescrevendo com um parâmetro k=C2,
y(x)=kl(e^-6x-1r)+(1+6k),x,e^-6x,
com kinR.

Resposta

A equação admite infinitas soluções, dadas por
boxedy(x)=kl(e^-6x-1r)+(1+6k),x,e^-6x, kinR

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