Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
O método que vamos usar é a resolução pelo polinômio característico.
Passo 2
Escrevemos o polinômio característico associado à equação homogênea:
Fatorando, temos
logo as raízes são
(simples) e
(dupla).
Passo 3
Pela teoria de equações lineares de ordem 3 com raízes reais, a solução geral é
onde
são constantes a determinar.
Passo 4
Aplicamos as condições iniciais:
- Em
, - Derivando,
Em ,
Passo 5
Repare que temos apenas duas equações para três constantes, faltando uma condição inicial. Portanto a família de soluções que satisfaz as duas condições dadas é
onde
é parâmetro livre. Ou, reescrevendo com um parâmetro
,
com
.
Resposta
A equação admite infinitas soluções, dadas por