- Se
é a regiảo do primeiro quadrante que não contém a origem, sendo delimitada pelas retas
e pela circunferência
, escreva, em coordenadas polares, a integral dupla que fornece o valor da área de
.
Passo 1
Nesse exercício a gente precisa encontrar a área da região D no primeiro quadrante, sem incluir a origem, limitada pelas retas
,
e pela circunferência
. O assunto é coordenadas polares e integral dupla. Vamos usar a conversão
,
e lembrar do fator Jacobiano
na área.
Passo 2
Primeiro, convertemos a equação da circunferência para polares. Substituindo
e
em
, a gente obtém
, que simplifica para
(desconsiderando o caso trivial
).
Passo 3
A reta
em polares vira
, ou seja
. Agora, pra achar onde ela cruza a circunferência, igualamos
, daí sai
e no primeiro quadrante
.
Passo 4
Isso mostra que, para
, a circunferência está antes da reta, então
vai de
até
. Já para
, a reta está antes, então
vai de
até
.
Passo 5
Finalmente, montamos a integral dupla em coordenadas polares com o integrando
(por causa do Jacobiano) usando esses limites de
e
.