1. Se D é a regiảo do primeiro quadrante que não contém a origem, sendo delimitada pelas retas x=0, y=32 e pela circunferência x^2+y^2=2 y, escreva, em coordenadas polares, a integral dupla que fornece o valor da área de D.

Passo 1

Nesse exercício a gente precisa encontrar a área da região D no primeiro quadrante, sem incluir a origem, limitada pelas retas x=0, y=3/2 e pela circunferência x^2 + y^2 = 2y. O assunto é coordenadas polares e integral dupla. Vamos usar a conversão x = rcostheta, y = rsintheta e lembrar do fator Jacobiano r na área.

Passo 2

Primeiro, convertemos a equação da circunferência para polares. Substituindo x = rcostheta e y = rsintheta em x^2 + y^2 = 2y, a gente obtém r^2 = 2rsintheta, que simplifica para r = 2sintheta (desconsiderando o caso trivial r=0).

Passo 3

A reta y = 3/2 em polares vira rsintheta = 3/2, ou seja r = tfrac32sintheta. Agora, pra achar onde ela cruza a circunferência, igualamos 2sintheta = tfrac32sintheta, daí sai sin^2theta = 3/4 e no primeiro quadrante theta = pi/3.

Passo 4

Isso mostra que, para 0 <= theta <= pi/3, a circunferência está antes da reta, então r vai de 0 até 2sintheta. Já para pi/3 <= theta <= pi/2, a reta está antes, então r vai de 0 até tfrac32sintheta.

Passo 5

Finalmente, montamos a integral dupla em coordenadas polares com o integrando r (por causa do Jacobiano) usando esses limites de r e theta.

Resposta

integral0^pi/3 integral0^2sintheta r,dr,dtheta + integralpi/3^pi/2 integral0^tfrac32sintheta r,dr,dtheta

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