• Questão 14. Calcule as derivadas das funções abaixo
    (d) y=cos (sen x) cossec x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
y = cosl(sen xr),csc x
Aqui vamos usar a regra do produto (porque há dois fatores dependentes de x), a regra da cadeia (para derivar cos(sen x)) e as derivadas das funções trigonométricas básicas ( sen x, cos x, csc x, cot x).

Passo 2

Definimos
u(x) = cosl(sen xr), v(x) = csc x,
de modo que
y = u(x),v(x)
e, pela regra do produto,
y' = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)

Passo 3

Vamos calcular u'(x). Como u(x)=cosl(sen xr), pela regra da cadeia:
u'(x) = -senl(sen xr);cdot;ddxl(sen xr) = -senl(sen xr),cos x

Passo 4

Agora v(x)=csc x. Sabemos que
ddxl(csc xr) = -csc x,cot x,
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v'(x) = -csc x,cot x

Passo 5

Substituindo em
y' = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)
temos
y' = l[-sen(sen x),cos xr],csc x ;+;cos(sen x),l[-csc x,cot xr]

Passo 6

Colocando os sinais e fatores juntos, fica
y' = -cos x,csc x,sen(sen x) ;-;csc x,cot x,cos(sen x)
Podemos deixar nessa forma ou então notar que cos x,csc x=cot x, mas a expressão acima já está suficientemente clara.

Resposta

boxed y' = -cos x,csc x,sen(sen x);-;csc x,cot x,cos(sen x)

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