Categorize cada um dos seguintes sinais como sinal de energia ou potência e encontre a energia ou potência do sinal.
\displaystyle x(t)=\left\{\begin{array}{cl}t, & 0 \leq t \leq 1 \\\ 2-t, & 1 \leq t \leq 2 \\\ 0, & \text { caso contrário }\end{array}\right.á

Passo 1

O enunciado dá o sinal x(t) definido por partes:
x(t)=\begin{cases} t, & 0\le t\le 1,\\[4pt] 2-t, & 1\le t\le 2,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
O que pede: classificar o sinal como sinal de energia ou sinal de potência e encontrar a energia ou a potência do sinal (conforme a classificação).]

Passo 2

Vamos revisar as definições que precisamos usar (explicando cada símbolo):
  • Energia de um sinal contínuo em tempo real: E=\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2\,dt,
onde E é a energia total e |x(t)|^2 é o quadrado do módulo do sinal em cada instante. Aqui dt indica integração em relação ao tempo.
  • Potência média do sinal: P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|x(t)|^2\,dt.
Aqui P é a potência média e a média temporal é feita em um intervalo simétrico [-T,T] antes de fazer T\to\infty.
Regras de classificação (úteis na prova):
  • Se 0<E<\infty então o sinal é um sinal de energia (e sua potência média será P=0).
  • Se 0<P<\infty e E=\infty então o sinal é um sinal de potência.
  • Se ambos são zero ou ambos infinitos, há casos especiais, mas raros aqui.

Passo 3

Observação útil: o sinal é não nulo apenas no intervalo [0,2]. Portanto a integral de energia se reduz a integrar em [0,2]. Escrevemos:
E=\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2\,dt=\int_{0}^{1}t^2\,dt+\int_{1}^{2}(2-t)^2\,dt.
Separei a integral conforme as duas peças definidas do sinal.

Passo 4

Calculo da primeira integral \int_{0}^{1}t^2\,dt.
A primitiva de t^2 é \dfrac{t^3}{3}. Portanto
\int_{0}^{1}t^2\,dt=\left.\frac{t^3}{3}\right|_{0}^{1}=\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{1}{3}.

Passo 5

Calculo da segunda integral \int_{1}^{2}(2-t)^2\,dt.
Faço a mudança de variável u=2-t. Então du=-dt. Quando t=1 temos u=1; quando t=2 temos u=0. Assim
\int_{1}^{2}(2-t)^2\,dt=\int_{1}^{0}u^2(-du)=\int_{0}^{1}u^2\,du.
Essa última integral é igual à da etapa anterior:
\int_{0}^{1}u^2\,du=\left.\frac{u^3}{3}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{3}.

Passo 6

Somando as duas partes obtemos a energia total:
E=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Esse valor é finito e positivo, portanto o sinal tem energia finita. Pela regra de classificação, isso indica que é um sinal de energia (e não de potência).

Passo 7

Para confirmar a potência média, calculamos
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|x(t)|^2\,dt.
Para qualquer T\ge 2 a integral \int_{-T}^{T}|x(t)|^2\,dt vale exatamente E=\tfrac{2}{3}, porque fora de [0,2] o sinal é zero. Então
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\cdot\frac{2}{3}=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{3T}=0.
Como esperado para um sinal de duração finita, a potência média é zero.

Resposta

Classificação: sinal de energia.
Energia: E=\dfrac{2}{3}.
Potência média: P=0.

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