Categorize cada um dos seguintes sinais como sinal de energia ou potência e encontre a energia ou potência do sinal.
Passo 1
Enunciado e o que se pede:\n
Temos o sinal .\n
O que o enunciado pede:\n
Temos o sinal
O que o enunciado pede:\n
- Classificar o sinal: sinal de energia ou sinal de potência;\n
- Calcular a energia ou, no caso de sinal de potência, a potência do sinal.\n
Dados relevantes que o enunciado dá (já implicados na expressão):(amplitude, número real), (frequência angular, pode ser zero ou não), (fase, número real).\n
Observação importante: não pedimos informações adicionais — vamos tratar todos os casos naturais que aparecem (, , ).
Passo 2
Definições básicas (aulas rápidas e intuitivas, para você saber o que usar na prova):\n
- Energia de um sinal real
:
Significa a integral do quadrado do sinal ao longo de todo o tempo; se essa integral for finita dizemos que o sinal é sinal de energia.\n
- Potência média (ou simplesmente potência) de um sinal
:
Significa o valor médio do quadrado do sinal ao longo de um intervalo muito longo; se esse limite existir e for finito e positivo dizemos que o sinal é sinal de potência.\n
Observação didática rápida: sinais periódicos não nulos (como cosseno com amplitude fixa) quase sempre têm energia infinita (porque integrou-se um valor não zero sobre tempo infinito) e potência finita — por isso tipicamente são classificados como sinais de potência.
Observação didática rápida: sinais periódicos não nulos (como cosseno com amplitude fixa) quase sempre têm energia infinita (porque integrou-se um valor não zero sobre tempo infinito) e potência finita — por isso tipicamente são classificados como sinais de potência.
Passo 3
Cálculo da energia (mostrando por que diverge quando
):\n
Começamos com a definição de energia:
\n
Usamos a identidade trigonométrica (que você deve saber decorar/derivar):
\n
Aplicando-a:
\n
- O primeiro termo é
, que é claramente divergente (é ) sempre que .\n - O segundo termo é um integral de uma função oscilante e é, no máximo, limitado (não compensa o infinito do primeiro termo).\n
Conclusão: sea energia diverge, ou seja .\n
Exceção óbvia: seentão e .
Passo 4
Cálculo da potência para o caso mais comum
(passo a passo, sem pular etapas):\n
Começamos pela definição da potência média:
\n
Substituindo
:
\n
Separando os termos:
\n
Calcule cada limite:\n
- O primeiro limite é simples:
\n - O segundo limite é o da integral da cosseno dividido por
. Vamos calcular explicitamente a integral e mostrar que ela tende a zero:\n
Logo
\n
Esse numerador é sempre limitado (diferença de duas funções seno, valor entre
e
), enquanto o denominador cresce como
. Portanto, o quociente tende a zero quando
. Em símbolos:
\n
Assim
\n
Interpretação: a média de
ao longo do tempo é
quando a função realmente oscila no tempo (
), então a potência é
.
Passo 5
Casos especiais que você precisa lembrar na prova (não vacile com estes!):\n
- Se
(sinal nulo): e . Nesse caso o sinal é trivial.\n - Se
: então é um sinal constante no tempo (um d.c.). Neste caso é constante, e a potência vale \n
Note que quando
a média de
não é
— é
porque não há oscilação no tempo. Mesmo nesse caso a energia é infinita se
(integral de uma constante não-nula ao longo de
diverge).\n
Resumo intuitivo: qualquer seno/cosseno periódico não-nulo tem energia infinita e potência finita; potência típica para seno/cosseno com frequência não nula é .
Resumo intuitivo: qualquer seno/cosseno periódico não-nulo tem energia infinita e potência finita; potência típica para seno/cosseno com frequência não nula é
Passo 6
Pequeno esquema de memorização para a prova (guarda-roupa mental):\n
- Sinal periódico não-nulo (amplitude fixa,
): sinal de potência, potência , energia infinita.\n - Sinal constante (caso
): sinal de potência, potência , energia infinita se amplitude não nula.\n - Sinal nulo (
): energia , potência .\n
Força aí — com esses passos você resolve esse tipo de exercício na prova rapidinho: reconhece se é periódico (potência) e usapara calcular a média.
Resposta
Para
e
: sinal de potência;
;
.\n
Para (sinal constante
): sinal de potência;
;
se
.\n
Para (sinal nulo):
;
.
Para
Para