Categorize cada um dos seguintes sinais como sinal de energia ou potência e encontre a energia ou potência do sinal.
x(t)=A \cos \left(\omega_{0} t+\theta\right)

Passo 1

Enunciado e o que se pede:\n
Temos o sinal \,x(t)=A\cos\big(\omega_{0}t+\theta\big)\,.\n
O que o enunciado pede:\n
  1. Classificar o sinal: sinal de energia ou sinal de potência;\n
  2. Calcular a energia ou, no caso de sinal de potência, a potência do sinal.\n
    Dados relevantes que o enunciado dá (já implicados na expressão): \,A (amplitude, número real), \,\omega_{0} (frequência angular, pode ser zero ou não), \,\theta (fase, número real).\n
    Observação importante: não pedimos informações adicionais — vamos tratar todos os casos naturais que aparecem ( A=0, \omega_0=0, \omega_0\neq0).

Passo 2

Definições básicas (aulas rápidas e intuitivas, para você saber o que usar na prova):\n
  • Energia de um sinal real x(t): E=\int_{-\infty}^{\infty} x^2(t)\,dt.
Significa a integral do quadrado do sinal ao longo de todo o tempo; se essa integral for finita dizemos que o sinal é sinal de energia.\n
  • Potência média (ou simplesmente potência) de um sinal x(t): P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} x^2(t)\,dt.
Significa o valor médio do quadrado do sinal ao longo de um intervalo muito longo; se esse limite existir e for finito e positivo dizemos que o sinal é sinal de potência.\n
Observação didática rápida: sinais periódicos não nulos (como cosseno com amplitude fixa) quase sempre têm energia infinita (porque integrou-se um valor não zero sobre tempo infinito) e potência finita — por isso tipicamente são classificados como sinais de potência.

Passo 3

Cálculo da energia (mostrando por que diverge quando A\neq0):\n
Começamos com a definição de energia: E=\int_{-\infty}^{\infty} x^2(t)\,dt = \int_{-\infty}^{\infty} A^2\cos^2\big(\omega_0 t+\theta\big)\,dt.\n
Usamos a identidade trigonométrica (que você deve saber decorar/derivar): \cos^2\varphi=\frac{1+\cos(2\varphi)}{2}.\n
Aplicando-a: E = A^2\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1+\cos\big(2\omega_0 t+2\theta\big)}{2}\,dt = \frac{A^2}{2}\int_{-\infty}^{\infty}1\,dt + \frac{A^2}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\cos\big(2\omega_0 t+2\theta\big)\,dt.\n
  • O primeiro termo é \frac{A^2}{2}\int_{-\infty}^{\infty}1\,dt, que é claramente divergente (é \frac{A^2}{2}\times\infty) sempre que A\neq0.\n
  • O segundo termo é um integral de uma função oscilante e é, no máximo, limitado (não compensa o infinito do primeiro termo).\n
    Conclusão: se A\neq0 a energia E diverge, ou seja \;E=\infty.\n
    Exceção óbvia: se A=0 então x(t)\equiv0 e \;E=0.

Passo 4

Cálculo da potência para o caso mais comum \omega_0\neq0 (passo a passo, sem pular etapas):\n
Começamos pela definição da potência média: P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} x^2(t)\,dt.\n
Substituindo x(t): P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} A^2\cos^2\big(\omega_0 t+\theta\big)\,dt = \frac{A^2}{2}\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\big[1+\cos(2\omega_0 t+2\theta)\big]\,dt.\n
Separando os termos: P=\frac{A^2}{2}\left(\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}1\,dt \;+\; \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\cos(2\omega_0 t+2\theta)\,dt\right).\n
Calcule cada limite:\n
  • O primeiro limite é simples: \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}1\,dt = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\cdot(2T)=1.\n
  • O segundo limite é o da integral da cosseno dividido por 2T. Vamos calcular explicitamente a integral e mostrar que ela tende a zero:\n
\int_{-T}^{T}\cos(2\omega_0 t+2\theta)\,dt = \left[\frac{1}{2\omega_0}\sin(2\omega_0 t+2\theta)\right]_{t=-T}^{t=T}.\n
Logo \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\cos(2\omega_0 t+2\theta)\,dt = \frac{1}{2T}\cdot\frac{1}{2\omega_0}\Big(\sin(2\omega_0 T+2\theta)-\sin(-2\omega_0 T+2\theta)\Big).\n
Esse numerador é sempre limitado (diferença de duas funções seno, valor entre -2 e 2), enquanto o denominador cresce como 2T. Portanto, o quociente tende a zero quando T\to\infty. Em símbolos: \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\cos(2\omega_0 t+2\theta)\,dt = 0.\n
Assim P=\frac{A^2}{2}\big(1+0\big)=\frac{A^2}{2}.\n
Interpretação: a média de \cos^2 ao longo do tempo é 1/2 quando a função realmente oscila no tempo ( \omega_0\neq0), então a potência é \frac{A^2}{2}.

Passo 5

Casos especiais que você precisa lembrar na prova (não vacile com estes!):\n
  1. Se A=0 (sinal nulo): \;E=0 e \;P=0. Nesse caso o sinal é trivial.\n
  2. Se \omega_0=0: então x(t)=A\cos\theta é um sinal constante no tempo (um d.c.). Neste caso \cos^2(\omega_0 t+\theta)=\cos^2\theta é constante, e a potência vale P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}A^2\cos^2\theta\,dt = A^2\cos^2\theta.\n
Note que quando \omega_0=0 a média de \cos^2 não é 1/2 — é \cos^2\theta porque não há oscilação no tempo. Mesmo nesse caso a energia é infinita se A\cos\theta\neq0 (integral de uma constante não-nula ao longo de (-\infty,\infty) diverge).\n
Resumo intuitivo: qualquer seno/cosseno periódico não-nulo tem energia infinita e potência finita; potência típica para seno/cosseno com frequência não nula é \frac{A^2}{2}.

Passo 6

Pequeno esquema de memorização para a prova (guarda-roupa mental):\n
  • Sinal periódico não-nulo (amplitude fixa, \omega_0\neq0): sinal de potência, potência P=\dfrac{A^2}{2}, energia infinita.\n
  • Sinal constante (caso \omega_0=0): sinal de potência, potência P=A^2\cos^2\theta, energia infinita se amplitude não nula.\n
  • Sinal nulo ( A=0): energia 0, potência 0.\n
    Força aí — com esses passos você resolve esse tipo de exercício na prova rapidinho: reconhece se é periódico (potência) e usa \cos^2=(1+\cos 2\cdot)/2 para calcular a média.

Resposta

Para A\neq0 e \omega_0\neq0: sinal de potência; P=\dfrac{A^2}{2}; E=\infty.\n
Para \omega_0=0 (sinal constante x(t)=A\cos\theta): sinal de potência; P=A^2\cos^2\theta; E=\infty se A\cos\theta\neq0.\n
Para A=0 (sinal nulo): E=0; P=0.

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