Determine se os seguintes sinais são periódicos:
Passo 1
O enunciado dá o sinal
e pede para determinar se esse sinal é periódico.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- O sinal é soma de duas componentes:
e . - Não há outros dados (amplitude, deslocamento, etc.).
Pergunta clara: "é periódico? " (ou seja, existe tal que para todo ?)
Passo 2
Definição e ideia-chave (sem resolver ainda): um sinal
é periódico se existe
tal que
Para funções senoidais da forma
ou
, o período fundamental é dado por
onde
é a frequência angular (explico por que abaixo). Para a soma de duas funções periódicas com períodos
e
, a soma será periódica se existir um
que seja múltiplo inteiro de ambos
e
, ou seja, se existirem inteiros
tais que
Equivalente: a razão
deve ser número racional. Vou usar essa propriedade.
Passo 3
Calcular os períodos das duas componentes separadamente.
Primeiro componente:
. Aqui a forma é
com
. Pelo resultado acima, o período fundamental é
Segundo componente:
. Aqui
. Então o período fundamental é
Observação: derivei isso usando a igualdade
que exige
para algum inteiro
; o menor
ocorre com
, dando
.
Passo 4
Condição para a soma ser periódica: existe
tal que
seja múltiplo inteiro de
e de
. Ou seja, existem inteiros positivos
tais que
Substituindo
e
obtemos
Dividindo por
(não zero),
Isolando
,
Isso diz que
seria um número racional (razão de dois inteiros) se existissem tais inteiros
.
Passo 5
Usar a propriedade conhecida (e provada clássicamente) que
é irracional. Breve prova por contradição:
- Suponha
com inteiros positivos sem fator comum (fração irreduzível). - Então
, logo . Assim é par, então é par; escreva . - Substituindo,
⇒ ⇒ . Assim é par, então é par. - Logo
e têm ambos fator 2, contradizendo a hipótese de estarem em forma irreduzível.
Portantonão pode ser racional; é irracional.
Passo 6
Conclusão lógica: da igualdade necessária para existir período comum obtivemos
o que exigiria que
fosse racional. Como
é irracional (Passo 5), tal
inteiros não existem. Logo não existe
que seja múltiplo inteiro de
e de
. Portanto não há período comum e a soma
não é periódica.
Passo 7
Intuição final e um exemplo contraste (para fixar): quando as frequências (ou períodos) são “comensuráveis” (razão racional) a soma é periódica — por exemplo
tem períodos
e
e razão
(racional), então a soma é periódica com período
. No nosso caso a razão dos períodos é
(irracional), sinal típico de “incommensurabilidade” que impede período comum.
Resposta
Não,
não é periódico.