Determine se os seguintes sinais são periódicos:
x(t)=\cos t+\operatorname{sen} \sqrt{2} t

Passo 1

O enunciado dá o sinal
x(t)=\cos t+\operatorname{sen}\sqrt{2}\,t
e pede para determinar se esse sinal é periódico.
Informações relevantes dadas:
  • O sinal é soma de duas componentes: \cos t e \operatorname{sen}\sqrt{2}\,t.
  • Não há outros dados (amplitude, deslocamento, etc.).
    Pergunta clara: " x(t) é periódico? " (ou seja, existe T>0 tal que x(t+T)=x(t) para todo t?)

Passo 2

Definição e ideia-chave (sem resolver ainda): um sinal y(t) é periódico se existe T>0 tal que
y(t+T)=y(t)\quad\text{para todo }t.
Para funções senoidais da forma \sin(\omega t) ou \cos(\omega t), o período fundamental é dado por
T=\frac{2\pi}{\omega},
onde \omega é a frequência angular (explico por que abaixo). Para a soma de duas funções periódicas com períodos T_1 e T_2, a soma será periódica se existir um T>0 que seja múltiplo inteiro de ambos T_1 e T_2, ou seja, se existirem inteiros m,n tais que
T=mT_1=nT_2.
Equivalente: a razão T_1/T_2 deve ser número racional. Vou usar essa propriedade.

Passo 3

Calcular os períodos das duas componentes separadamente.
Primeiro componente: \cos t. Aqui a forma é \cos(\omega_1 t) com \omega_1=1. Pelo resultado acima, o período fundamental é
T_1=\frac{2\pi}{\omega_1}=\frac{2\pi}{1}=2\pi.
Segundo componente: \operatorname{sen}\sqrt{2}\,t. Aqui \omega_2=\sqrt{2}. Então o período fundamental é
T_2=\frac{2\pi}{\omega_2}=\frac{2\pi}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\,\pi.
Observação: derivei isso usando a igualdade \sin(\omega(t+T))=\sin(\omega t) que exige \omega T=2\pi k para algum inteiro k; o menor T>0 ocorre com k=1, dando T=2\pi/\omega.

Passo 4

Condição para a soma ser periódica: existe T>0 tal que T seja múltiplo inteiro de T_1 e de T_2. Ou seja, existem inteiros positivos m,n tais que
mT_1=nT_2.
Substituindo T_1=2\pi e T_2=\sqrt{2}\,\pi obtemos
m(2\pi)=n(\sqrt{2}\,\pi).
Dividindo por \pi (não zero),
2m=n\sqrt{2}.
Isolando \sqrt{2},
\sqrt{2}=\frac{2m}{n}.
Isso diz que \sqrt{2} seria um número racional (razão de dois inteiros) se existissem tais inteiros m,n.

Passo 5

Usar a propriedade conhecida (e provada clássicamente) que \sqrt{2} é irracional. Breve prova por contradição:
  • Suponha \sqrt{2}=\dfrac{p}{q} com p,q inteiros positivos sem fator comum (fração irreduzível).
  • Então 2=\dfrac{p^2}{q^2}, logo p^2=2q^2. Assim p^2 é par, então p é par; escreva p=2r.
  • Substituindo, (2r)^2=2q^2 4r^2=2q^2 q^2=2r^2. Assim q^2 é par, então q é par.
  • Logo p e q têm ambos fator 2, contradizendo a hipótese de estarem em forma irreduzível.
    Portanto \sqrt{2} não pode ser racional; é irracional.

Passo 6

Conclusão lógica: da igualdade necessária para existir período comum obtivemos
\sqrt{2}=\frac{2m}{n},
o que exigiria que \sqrt{2} fosse racional. Como \sqrt{2} é irracional (Passo 5), tal m,n inteiros não existem. Logo não existe T>0 que seja múltiplo inteiro de T_1 e de T_2. Portanto não há período comum e a soma
x(t)=\cos t+\operatorname{sen}\sqrt{2}\,t
não é periódica.

Passo 7

Intuição final e um exemplo contraste (para fixar): quando as frequências (ou períodos) são “comensuráveis” (razão racional) a soma é periódica — por exemplo \cos t+\cos 2t tem períodos 2\pi e \pi e razão 2\pi/\pi=2 (racional), então a soma é periódica com período 2\pi. No nosso caso a razão dos períodos é \sqrt{2} (irracional), sinal típico de “incommensurabilidade” que impede período comum.

Resposta

Não, x(t) não é periódico.

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