Determine se os seguintes sinais são periódicos:
x[n]=\cos \left(\frac{8}{15} \pi n\right)

Passo 1

Enunciado: temos o sinal discreto
x[n]=\cos\!\left(\frac{8}{15}\pi n\right).
O que o problema pede: determinar se o sinal é periódico; se for periódico, indicar o período fundamental (o menor N_0\in\mathbb{Z}^+ tal que x[n+N_0]=x[n] para todo n).
Informações dadas:
x[n]=\cos\!\left(\frac{8}{15}\pi n\right)
(não há fase adicional nem escala de amplitude).

Passo 2

Critério teórico (explicado passo a passo): para um sinal discreto do tipo \cos(\omega_0 n+\varphi) ser periódico em n é necessário existir um inteiro positivo N e um inteiro m tais que
\omega_0 N = 2\pi m.
Isto significa que a razão \dfrac{\omega_0}{2\pi} tem que ser racional. Se
\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{p}{q}
na forma irredutível (ou seja, p e q inteiros e \gcd(p,q)=1), então
\omega_0 q = 2\pi p
e portanto N_0=q é um período (porque \cos(\omega_0(n+q))=\cos(\omega_0 n+2\pi p)=\cos(\omega_0 n)).
Justificativa da minimalidade: se houvesse um período menor N'<q então existir­ia inteiro m' com \omega_0 N' = 2\pi m'. Isso implica \dfrac{p}{q}N' = m', ou seja pN' = qm'. Como p e q são coprimos, q divide N', o que contradiz N'<q. Logo q é o menor período positivo.

Passo 3

Aplicando ao caso dado: identificamos \omega_0=\dfrac{8}{15}\pi. Calculemos a razão
\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{\tfrac{8}{15}\pi}{2\pi}=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}.
Escrevemos \dfrac{4}{15} na forma irredutível. Aqui \gcd(4,15)=1 (porque 15=4\cdot3+3, 4=3\cdot1+1, 3=1\cdot3, logo máximo divisor comum =1). Portanto p=4 e q=15 na forma irreduzível.

Passo 4

Concluímos que \dfrac{\omega_0}{2\pi}=\dfrac{4}{15} é racional, então o sinal é periódico e um período é N_0=15. Verificação explícita:
x[n+15]=\cos\!\left(\frac{8}{15}\pi (n+15)\right) =\cos\!\left(\frac{8}{15}\pi n + \frac{8}{15}\pi\cdot 15\right) =\cos\!\left(\frac{8}{15}\pi n + 8\pi\right).
Como 8\pi=2\pi\cdot 4, e \cos(\theta+2\pi k)=\cos\theta para todo inteiro k, obtemos
x[n+15]=\cos\!\left(\frac{8}{15}\pi n\right)=x[n].
Prova de que não existe período positivo menor: suponha N inteiro positivo com N<15 e \omega_0 N=2\pi m para algum inteiro m. Isso equivale a
\frac{8}{15}N = 2m \quad\Longrightarrow\quad 4N = 15 m.
Como \gcd(4,15)=1, da igualdade 4N=15m segue que 15 divide N, logo N\ge 15, contradição. Portanto 15 é o menor período positivo.

Passo 5

Resumo prático para prova (truque rápido): calcule \dfrac{\omega_0}{2\pi}. Se for racional p/q em termos irredutíveis, o período fundamental é N_0=q. Aqui \dfrac{\omega_0}{2\pi}=\dfrac{4}{15}\Rightarrow N_0=15. Vai dar certo na prova — respira, anota essa receita e repete algumas vezes com outros exemplos para fixar.

Resposta

Sim. Periódico com período fundamental N_0=15.

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