Determine se os seguintes sinais são periódicos:
Passo 1
Enunciado: temos o sinal discreto
O que o problema pede: determinar se o sinal é periódico; se for periódico, indicar o período fundamental (o menor
tal que
para todo
).
Informações dadas:
(não há fase adicional nem escala de amplitude).
Passo 2
Critério teórico (explicado passo a passo): para um sinal discreto do tipo
ser periódico em
é necessário existir um inteiro positivo
e um inteiro
tais que
Isto significa que a razão
tem que ser racional. Se
na forma irredutível (ou seja,
e
inteiros e
), então
e portanto
é um período (porque
).
Justificativa da minimalidade: se houvesse um período menor
então existiria inteiro
com
. Isso implica
, ou seja
. Como
e
são coprimos,
divide
, o que contradiz
. Logo
é o menor período positivo.
Passo 3
Aplicando ao caso dado: identificamos
. Calculemos a razão
Escrevemos
na forma irredutível. Aqui
(porque
,
,
, logo máximo divisor comum
). Portanto
e
na forma irreduzível.
Passo 4
Concluímos que
é racional, então o sinal é periódico e um período é
. Verificação explícita:
Como
, e
para todo inteiro
, obtemos
Prova de que não existe período positivo menor: suponha
inteiro positivo com
e
para algum inteiro
. Isso equivale a
Como
, da igualdade
segue que
divide
, logo
, contradição. Portanto
é o menor período positivo.
Passo 5
Resumo prático para prova (truque rápido): calcule
. Se for racional
em termos irredutíveis, o período fundamental é
. Aqui
. Vai dar certo na prova — respira, anota essa receita e repete algumas vezes com outros exemplos para fixar.
Resposta
Sim. Periódico com período fundamental
.