Categorize cada um dos seguintes sinais como sinal de energia ou potência e encontre a energia ou potência do sinal.
\displaystyle x[n]=\left\{\begin{array}{cl}n, & 0 \leq n \leq 5 \\\ 10-n, & 5 \leq n \leq 10 \\\ 0, & \text { caso contrário }\end{array}\right.á

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o sinal [x[n]):
  1. Categorizar o sinal como sinal de energia ou sinal de potência.
  2. Encontrar a energia ou a potência do sinal (conforme a categoria).
Informações dadas sobre o sinal:
x[n]=\begin{cases} n, & 0 \leq n \leq 5,\\[4pt] 10-n, & 5 \leq n \leq 10,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Observação importante: em n=5\] as duas expressões coincidem (\(x[5]=5), portanto o sinal está bem definido para todo n.]

Passo 2

Primeiro precisamos lembrar as definições (vou explicar com calma):
  • Energia de um sinal discreto real x[n]: E=\sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2.
Aqui |x[n]| é o valor absoluto (mas como x[n] é não-negativo no suporte dado, |x[n]|=x[n]). A energia é a soma dos quadrados de todos os valores do sinal ao longo do tempo.
  • Potência média de um sinal discreto: P=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}|x[n]|^2.
Isto mede a média dos quadrados (energia por amostra) ao longo de um intervalo simétrico que cresce sem limite.
Regra prática: se E<\infty então o sinal é um sinal de energia (e sua potência média P=0). Se E=\infty e P finito e não nulo, é sinal de potência. Aqui o sinal é não nulo apenas em um intervalo finito [0,10], então a soma que define E será finita — vamos calcular.

Passo 3

Identificar o suporte (onde o sinal é diferente de zero): pelo enunciado, x[n]\neq 0 somente para n=0,1,\dots,10. Logo a energia é a soma dos quadrados desses termos:
E=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]^2=\sum_{n=0}^{10} x[n]^2.
Vamos dividir conforme as duas definições:
E=\sum_{n=0}^{5} n^2 \;+\; \sum_{n=6}^{10} (10-n)^2.
(Em n=5 ambas as expressões dariam 5^2, mas já está incluído no primeiro somatório.)

Passo 4

Calcular explicitamente os termos para facilitar e evitar erro:
  • Para n=0,1,2,3,4,5: x[n]=n então x[n]^2 = 0^2,1^2,2^2,3^2,4^2,5^2 que são 0,1,4,9,16,25.
  • Para n=6,7,8,9,10: x[n]=10-n então (10-n) vale 4,3,2,1,0 e os quadrados são 16,9,4,1,0.
Somando todos:
E = 0+1+4+9+16+25+16+9+4+1+0.
Agora somamos passo a passo:
0+1=1,\quad 1+4=5,\quad 5+9=14,\quad 14+16=30,\quad 30+25=55,
55+16=71,\quad 71+9=80,\quad 80+4=84,\quad 84+1=85,\quad 85+0=85.
Portanto
E=85.

Passo 5

Calcular a potência média P. Como o sinal é zero fora de [0,10], para qualquer N\ge 10 temos
\sum_{n=-N}^{N} x[n]^2 = E = 85.
Assim
P=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}x[n]^2 =\lim_{N\to\infty}\frac{85}{2N+1}=0,
porque o denominador cresce sem limite e o numerador é constante. Então a potência média é 0.
Conclusão lógica: a energia é finita ( E=85) e a potência média é zero, logo o sinal é um sinal de energia.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (pra você ficar confiante):
  • Se o sinal tem suporte finito (é zero exceto em um número finito de instantes), então sempre será sinal de energia — basta somar os quadrados desses termos.
  • Conte sempre se há pontos de sobreposição nas definições por pedaços (como em n=5 aqui) para não contar duas vezes.
  • Para verificar potência, veja se a soma dos quadrados cresce com N. Se for constante (como aqui), a potência tende a zero.

Resposta

Sinal de energia; Energia E=85.
Potência P=0.

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