Categorize cada um dos seguintes sinais como sinal de energia ou potência e encontre a energia ou potência do sinal. \displaystyle x[n]=\left\{\begin{array}{cl}n, & 0 \leq n \leq 5 \\\ 10-n, & 5 \leq n \leq 10 \\\ 0, & \text { caso contrário }\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para o sinal [x[n]):
Categorizar o sinal como sinal de energia ou sinal de potência.
Encontrar a energia ou a potência do sinal (conforme a categoria).
Informações dadas sobre o sinal:
x[n]=\begin{cases} n, & 0 \leq n \leq 5,\\[4pt] 10-n, & 5 \leq n \leq 10,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Observação importante: em n=5\] as duas expressões coincidem (\(x[5]=5), portanto o sinal está bem definido para todo n.]
Passo 2
Primeiro precisamos lembrar as definições (vou explicar com calma):
Energia de um sinal discreto real x[n]: E=\sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2.
Aqui |x[n]| é o valor absoluto (mas como x[n] é não-negativo no suporte dado, |x[n]|=x[n]). A energia é a soma dos quadrados de todos os valores do sinal ao longo do tempo.
Potência média de um sinal discreto: P=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}|x[n]|^2.
Isto mede a média dos quadrados (energia por amostra) ao longo de um intervalo simétrico que cresce sem limite.
Regra prática: se E<\infty então o sinal é um sinal de energia (e sua potência média P=0). Se E=\infty e P finito e não nulo, é sinal de potência. Aqui o sinal é não nulo apenas em um intervalo finito [0,10], então a soma que define E será finita — vamos calcular.
Passo 3
Identificar o suporte (onde o sinal é diferente de zero): pelo enunciado, x[n]\neq 0 somente para n=0,1,\dots,10. Logo a energia é a soma dos quadrados desses termos:
porque o denominador cresce sem limite e o numerador é constante. Então a potência média é 0.
Conclusão lógica: a energia é finita (E=85) e a potência média é zero, logo o sinal é um sinal de energia.
Passo 6
Dicas rápidas para a prova (pra você ficar confiante):
Se o sinal tem suporte finito (é zero exceto em um número finito de instantes), então sempre será sinal de energia — basta somar os quadrados desses termos.
Conte sempre se há pontos de sobreposição nas definições por pedaços (como em n=5 aqui) para não contar duas vezes.
Para verificar potência, veja se a soma dos quadrados cresce com N. Se for constante (como aqui), a potência tende a zero.