Os sistemas dados a seguir têm a entrada x(t) ou x[n] e saída y(t) ou y[n], respectivamente. Determine se cada um deles é (i) sem memória, (ii) estável, (iii) causal, (iv) linear e (v) invariante no tempo e justifque suas respostas. \quad y(t)=\cos (x(t))
Passo 1
O enunciado dá o sistema contínuo-time cuja entrada é x(t) e a saída é
y(t)=\cos\big(x(t)\big).
Preciso determinar e justificar, para esse sistema, se ele é:
(i) sem memória, (ii) estável (BIBO), (iii) causal, (iv) linear e (v) invariante no tempo.
As únicas informações fornecidas são a expressão acima e que a análise é para sinais no tempo contínuo t.
Passo 2
Definição de sem memória e teste aplicado aqui.
Definição (sem memória): um sistema é sem memória (memoryless) se, para cada instante t_0, a saída y(t_0) depende apenas do valor da entrada naquele mesmo instante x(t_0), e não de valores passados x(t<t_0) ou futuros x(t>t_0).
Aplicação: a saída é y(t)=\cos\big(x(t)\big). Em qualquer instante t_0 temos
y(t_0)=\cos\big(x(t_0)\big),
ou seja, y(t_0) usa apenas x(t_0). Portanto o sistema é sem memória.
Passo 3
Definição de estabilidade (BIBO) e teste aplicado aqui.
Definição (BIBO estável): um sistema é BIBO estável se toda entrada limitada produz uma saída limitada. Formalmente, existe um número finito M tal que, se |x(t)|\le B_x<\infty para todo t, então |y(t)|\le M para todo t.
Aplicação: para qualquer argumento real u vale |\cos(u)|\le 1. Tomando u=x(t) obtemos
|y(t)| = \big|\cos(x(t))\big| \le 1
para todo t, independentemente de quão grande seja B_x. Assim, dada qualquer entrada limitada, a saída fica necessariamente limitada por M=1. Logo o sistema é BIBO estável.
Observação útil: mesmo se a entrada fosse ilimitada, a saída permaneceria em [-1,1]; mas BIBO usa a hipótese de entrada limitada para concluir saída limitada, e isso é satisfeito aqui.
Passo 4
Definição de causalidade e teste aplicado aqui.
Definição (causal): um sistema é causal se, para cada instante t_0, a saída até t_0 não depende de valores futuros da entrada (valores com t>t_0). Uma forma prática: se duas entradas x_1 e x_2 coincidem para todos t\le t_0, então as respectivas saídas também coincidem para todos t\le t_0.
Aplicação: como y(t) depende apenas de x(t) no mesmo instante, não há referência a valores futuros x(t+\epsilon). Formalmente, se x_1(t)=x_2(t) para todo t\le t_0, então para t\le t_0
y_1(t)=\cos(x_1(t))=\cos(x_2(t))=y_2(t).
Portanto o sistema é causal. (Observação: todo sistema sem memória é, por definição, causal.)
Passo 5
Definição de linearidade e teste com contraexemplo.
Definição (linearidade): um sistema T é linear se satisfaz superposição e homogeneidade: para quaisquer sinais x_1,x_2 e escalares a,b,
T\{a x_1 + b x_2\} = a\,T\{x_1\} + b\,T\{x_2\}.
Aplicação e contraexemplo: aqui T\{x\}(t)=\cos(x(t)). Calculemos para um escalar a e um sinal x:
T\{a x\}(t)=\cos\big(a\,x(t)\big),
enquanto
a\,T\{x\}(t)=a\cos\big(x(t)\big).
Em geral \cos(a u)\neq a\cos(u). Tomemos um exemplo numérico simples: escolha a=2 e em um instante t tal que x(t)=\pi/6. Então
que são diferentes. Portanto a propriedade de homogeneidade (e logo a de superposição) falha, e o sistema não é linear.
Passo 6
Definição de invariância no tempo e teste aplicado aqui.
Definição (invariante no tempo): um sistema T é invariante no tempo se, ao atrasar a entrada em t_0, a saída também é atrasada em t_0 sem outra alteração. Formalmente, para todo deslocamento t_0,
T\{x(t-t_0)\} = y(t-t_0)
onde y(t)=T\{x(t)\}.
Aplicação: seja y(t)=\cos(x(t)). Então
T\{x(t-t_0)\} = \cos\big(x(t-t_0)\big).
Por outro lado,
y(t-t_0) = \cos\big(x(t-t_0)\big).
As duas expressões coincidem exatamente para todo t_0, logo o sistema é invariante no tempo.
Passo 7
Resumo intuitivo rápido (para fixar): o sistema só “olha” o valor atual x(t) e aplica a função não linear \cos(\cdot). Por isso é sem memória, causal e invariante no tempo. A natureza da função cosseno torna-o não linear, mas como \cos(\cdot) é sempre limitada em [-1,1], o sistema é BIBO estável. Força aí: você já domina a análise de propriedades de sistemas não lineares simples como este!
Resposta
(i) sem memória: sim
(ii) estável: sim
(iii) causal: sim
(iv) linear: não
(v) invariante no tempo: sim